Теория вероятности. 1.Краткая историческая справка. 1.Краткая историческая справка. 2.Основные термины вероятностей. 2.Основные термины вероятностей. 3.Классическое определение вероятности. 3.Классическое определение вероятности. Доценко. к. 111 гр.

Исторические справки. Даниил Бернулли Даниил Бернулли Даниил Бернулли - швейцарский математик и механик. В он работал в Петербургской АН сначала на кафедре физиологии, а затем механики. Впоследствии он состоял почётным членом Петербургской АН, опубликовал (с ) в её изданиях 47 работ. Профессор в Базеле по физиологии (1733) и по механике (1750). В математике Даниилу Бернулли принадлежат: метод численного решения алгебраических уравнений с помощью возвратных рядов, работы по обыкновенным дифференциальным уравнениям, по теории вероятностей с приложением к статистике народонаселения и, отчасти, к астрономии, по теории рядов. В работах, завершенных написанным в Петербурге трудом "Гидродинамика" (1738), вывел основное уравнение стационарного движения идеальной жидкости, носящее его имя. Даниил Бернулли разрабатывал кинетические представления о газах. Даниил Бернулли - швейцарский математик и механик. В он работал в Петербургской АН сначала на кафедре физиологии, а затем механики. Впоследствии он состоял почётным членом Петербургской АН, опубликовал (с ) в её изданиях 47 работ. Профессор в Базеле по физиологии (1733) и по механике (1750). В математике Даниилу Бернулли принадлежат: метод численного решения алгебраических уравнений с помощью возвратных рядов, работы по обыкновенным дифференциальным уравнениям, по теории вероятностей с приложением к статистике народонаселения и, отчасти, к астрономии, по теории рядов. В работах, завершенных написанным в Петербурге трудом "Гидродинамика" (1738), вывел основное уравнение стационарного движения идеальной жидкости, носящее его имя. Даниил Бернулли разрабатывал кинетические представления о газах.

"Случай играет в мире столь большую роль, что обыкновенно я стараюсь отвести ему как можно меньше места в уверенности, что и без моей помощи он позаботится о себе." "Случай играет в мире столь большую роль, что обыкновенно я стараюсь отвести ему как можно меньше места в уверенности, что и без моей помощи он позаботится о себе." A. Дюма A. Дюма Наступление случайного события в результате испытания, вообще говоря, нельзя предсказать заранее в принципе. Этот факт – непредсказуемость наступления – можно в некоторых случаях считать главным отличительным свойством случайного события. Тем не менее, имеется возможность некоторые случайные события подвергнуть анализу методами математики.

Историческая справка. Первоначальным толчком к развитию теории вероятностей послужили задачи, относящиеся к азартным играм ( в переводе с французского »азарт» (le hazard) означает «случай»). Первоначальным толчком к развитию теории вероятностей послужили задачи, относящиеся к азартным играм ( в переводе с французского »азарт» (le hazard) означает «случай»). Мощным стимулом развития теории явились запросы страхового дела, которое зародилось еще в 14 веке, а также, начиная с 17 века демографии. Мощным стимулом развития теории явились запросы страхового дела, которое зародилось еще в 14 веке, а также, начиная с 17 века демографии. Важную роль для развития математической статистики сыграли работы Э.Галлея по демографии (1693 г.). Хотя по основной специальности этот ученый был астрономом, и его именем названа знаменитая комета. Важную роль для развития математической статистики сыграли работы Э.Галлея по демографии (1693 г.). Хотя по основной специальности этот ученый был астрономом, и его именем названа знаменитая комета. В трактате Я.Бернулли «Искусство предположений» (1730 г.), над которым он работал 20 лет и который был издан уже после смерти автора, впервые введено и широко использовалось классическое определение вероятности. В трактате Я.Бернулли «Искусство предположений» (1730 г.), над которым он работал 20 лет и который был издан уже после смерти автора, впервые введено и широко использовалось классическое определение вероятности. Следующий этап в развитии теории вероятностей связан с именами Муавра, Лапласа, Гаусса, Пуассона (18 век). В 20 веке достижения этой науки связаны с именами российских ученых С.Н.Бернштейна, А.Я.Хинчина, А.Н.Колмогорова. Теория вероятностей и математическая статистика и в настоящее время развиваются и применяются на практике: Следующий этап в развитии теории вероятностей связан с именами Муавра, Лапласа, Гаусса, Пуассона (18 век). В 20 веке достижения этой науки связаны с именами российских ученых С.Н.Бернштейна, А.Я.Хинчина, А.Н.Колмогорова. Теория вероятностей и математическая статистика и в настоящее время развиваются и применяются на практике: Организация производства Организация производства Анализ технологических процессов Анализ технологических процессов Контроль качества продукции Контроль качества продукции Страховое дело. Страховое дело.

Теория вероятности Когда мы подбрасываем монету, мы не знаем, что именно выпадет - "герб" или"решка". Однако кое-что мы все же знаем. Мы знаем, что шансы выпадения как "герба", так и - "решки" одинаковы. Точно так же мы знаем, что одинаковы шансы выпадения любой из шести граней игрального кубика. В обоих примерах равенство шансов связано с симметрией. Симметрична монета, симметричен кубик. Будем называть равновозможными - исходы, имеющие одинаковые шансы. Выпадение "герба" и выпадение "решки" - равновозможные исходы. Предположим, что нас интересует определенный результат бросания игрального кубика, например, выпадение грани с числом очков, делящимся без остатка на три. Будем называть благоприятными исходы, при которых получается этот результат. В данном случае имеем два таких исхода - выпадение тройки и выпадение шестерки. Наконец, будем называть исходы несовместимыми, если при появлении одного из них в единичной испытании, исключается появление другого в том же испытании. Выпадения граней при бросании кубика - несовместные исходы. Когда мы подбрасываем монету, мы не знаем, что именно выпадет - "герб" или"решка". Однако кое-что мы все же знаем. Мы знаем, что шансы выпадения как "герба", так и - "решки" одинаковы. Точно так же мы знаем, что одинаковы шансы выпадения любой из шести граней игрального кубика. В обоих примерах равенство шансов связано с симметрией. Симметрична монета, симметричен кубик. Будем называть равновозможными - исходы, имеющие одинаковые шансы. Выпадение "герба" и выпадение "решки" - равновозможные исходы. Предположим, что нас интересует определенный результат бросания игрального кубика, например, выпадение грани с числом очков, делящимся без остатка на три. Будем называть благоприятными исходы, при которых получается этот результат. В данном случае имеем два таких исхода - выпадение тройки и выпадение шестерки. Наконец, будем называть исходы несовместимыми, если при появлении одного из них в единичной испытании, исключается появление другого в том же испытании. Выпадения граней при бросании кубика - несовместные исходы.

Генераторы чисел. Положим в ящик десять одинаковых шаров, помеченными цифрами от 0 до 9. Вынем наугад один из шаров и отметим его цифру. Пусть это будет цифра 5. Затем вернем шар в ящик, хорошо перемешаем шары и вновь вынем наугад один шар. Предположим, что выпала цифра 1. Запишем ее, вернем шар в ящик, перемешаем шары, и снова вынем наугад один шар. Предположим, что выпала цифра 2. Повторяя эту операцию много раз, мы получаем неупорядоченный набор цифр, например такой: 5, 1, 2, 7, 2, 3, 0, 2, 1, 3, 9, 2, 4, 4, 1, 3. Неупорядоченность набора связана с тем, что каждая цифра выпадала случайно. Ведь всякий раз шар вынимали наугад из хорошо перемешанной совокупности одинаковых шаров. Положим в ящик десять одинаковых шаров, помеченными цифрами от 0 до 9. Вынем наугад один из шаров и отметим его цифру. Пусть это будет цифра 5. Затем вернем шар в ящик, хорошо перемешаем шары и вновь вынем наугад один шар. Предположим, что выпала цифра 1. Запишем ее, вернем шар в ящик, перемешаем шары, и снова вынем наугад один шар. Предположим, что выпала цифра 2. Повторяя эту операцию много раз, мы получаем неупорядоченный набор цифр, например такой: 5, 1, 2, 7, 2, 3, 0, 2, 1, 3, 9, 2, 4, 4, 1, 3. Неупорядоченность набора связана с тем, что каждая цифра выпадала случайно. Ведь всякий раз шар вынимали наугад из хорошо перемешанной совокупности одинаковых шаров. Имея набор случайных цифр, можно составить набор случайных чисел. Будем рассматривать, например, четырехзначные числа. В этом случае достаточно разбить полученный набор случайных цифр на группы и рассматривать каждую группу как одно из этих чисел: 5127, 2302, 1392, Имея набор случайных цифр, можно составить набор случайных чисел. Будем рассматривать, например, четырехзначные числа. В этом случае достаточно разбить полученный набор случайных цифр на группы и рассматривать каждую группу как одно из этих чисел: 5127, 2302, 1392, Устройство для получения наборов случайных чисел называют генератором случайных чисел. Различают три типа таких генераторов: урны, кости, рулетки. Рассмотренный только что ящик с шарами представляет собой одну из разновидностей урн. Другая разновидность - лототрон, используемый в телепередачах спортлото. Устройство для получения наборов случайных чисел называют генератором случайных чисел. Различают три типа таких генераторов: урны, кости, рулетки. Рассмотренный только что ящик с шарами представляет собой одну из разновидностей урн. Другая разновидность - лототрон, используемый в телепередачах спортлото. Наиболее просто устроены генераторы случайных чисел, относящиеся к типу "кости". Примерами таких генераторов являются подбрасываемый кубик, грани которого помечены разными цифрами, подбрасываемая монета (или жетон) и т. д. Наиболее просто устроены генераторы случайных чисел, относящиеся к типу "кости". Примерами таких генераторов являются подбрасываемый кубик, грани которого помечены разными цифрами, подбрасываемая монета (или жетон) и т. д.

Задача. Устойчивость относительной частоты была обнаружена и многократно подтверждена экспериментально естествоиспытателями в веках. Наиболее впечатляющим является результат К. Пирсона, который бросал монету раз, затем осуществил еще одну серию бросаний – раз. В этих сериях он подсчитывал количество выпадений герба и получил значения относительной частоты для него 0,5016 и 0,5005, отличающиеся друг от друга на 0,0011. Устойчивость относительной частоты была обнаружена и многократно подтверждена экспериментально естествоиспытателями в веках. Наиболее впечатляющим является результат К. Пирсона, который бросал монету раз, затем осуществил еще одну серию бросаний – раз. В этих сериях он подсчитывал количество выпадений герба и получил значения относительной частоты для него 0,5016 и 0,5005, отличающиеся друг от друга на 0,0011. Для случайных событий обладающих свойством устойчивости, относительную частоту наступления события естественно считать степенью возможности наступления случайного события. Пример. Баскетболист А из некоторого положения попал в кольцо 4 раза при 11 бросках. Баскетболист В из этого же положения – 6 раз при 18 бросках. Какому из игроков доверить выполнение штрафного удара из этого положения? Решение. Найдем относительные частоты попадания в кольцо этими игроками:,. Так как, то выполнение штрафного лучше доверить игроку А. Если относительная частота больше, то больше и уверенность в успехе.

Лифт в пятиэтажном доме отправляется с тремя пассажирами с первого этажа. Найти вероятность того, что на каждом этаже выйдет не более одного пассажира. Решение. При решении предполагаем, что всевозможные способы распределения пассажиров по этажам равновероятны. Очевидно, каждый пассажир имеет четыре возможности для выхода из лифта пассажир 2345 (на 2, 3, 4, 5 этажах).

Задача. Тогда для двух пассажиров имеется возможностей, то есть различных вариантов выхода из лифта, так как каждая возможность выхода первого пассажира может сочетаться с каждой возможностью второго. Для трех пассажиров 4*4*4=64 вариантов выхода. Итак,, это число всех возможных равновероятных (по допущению) способов выхода пассажиров из лифта, один и только один из которых будет реализован в результате испытания. Число вариантов определяющих интересующее нас событие, то есть m равно 4*3*2 исходов, m=24. Так как на каждом этаже должно выйти не более одного пассажира, то у первого выходящего имеется 4 варианта выхода (на любом, кроме первого, этаже), у второго – только 3 варианта, так как один вариант использовал первый пассажир, у третьего – только 2 способа. Окончательно: вероятность события А равна : Тогда для двух пассажиров имеется возможностей, то есть различных вариантов выхода из лифта, так как каждая возможность выхода первого пассажира может сочетаться с каждой возможностью второго. Для трех пассажиров 4*4*4=64 вариантов выхода. Итак,, это число всех возможных равновероятных (по допущению) способов выхода пассажиров из лифта, один и только один из которых будет реализован в результате испытания. Число вариантов определяющих интересующее нас событие, то есть m равно 4*3*2 исходов, m=24. Так как на каждом этаже должно выйти не более одного пассажира, то у первого выходящего имеется 4 варианта выхода (на любом, кроме первого, этаже), у второго – только 3 варианта, так как один вариант использовал первый пассажир, у третьего – только 2 способа. Окончательно: вероятность события А равна :

Зарождение теории вероятностей и формирование первых понятий этой ветви математики произошло в середине 17 века, когда Паскаль, Ферма, Бернулли попытались осуществить анализ задач связанных с азартными играми новыми методами. Скоро стало ясно, что возникающая теория найдет широкий круг применения для решения многих задач возникающих в различных сферах деятельности человека. Литература: В.Е. Гурман Теория вероятностей и математическая статистика. М., ВШ, Л.В. Тарасов :Мир, построенный на вероятности. М., Пр., Заключение