Выполнил: ученик 12 реал-2 кл., лиц. «Светоч», Ткач В.С.

Интегрирование прослеживается ещё в древнем Египте, примерно в 1800 до н. э., Московский математический папирус демонстрирует знание формулы объёма усечённой пирамиды. Первым известным методом для расчёта интегралов является метод исчерпывания Евдокса (примерно 370 до н. э.), который пытался найти площади и объёмы, разрывая их на бесконечное множество частей, для которых площадь или объём уже известны. Этот метод был подхвачен и развит Архимедом, и использовался для расчёта площадей парабол и приближенного расчёта площади круга. Аналогичные методы были разработаны независимо в Китае в 3-м веке н. э. Лю Хуэйем, который использовал их для нахождения площади круга. Этот метод был впоследствии использован Дзю Чонгши для нахождения объёма шара.

Следующий крупный шаг в исчисление интегралов был сделан в Ираке, в XI веке, математиком Ибн ал-Хайсамом (известным как Alhazen в Европе), в своей работе «Об измерении параболического тела» он приходит к уравнению четвертой степени. Решая эту проблему, он проводит вычисления, равносильные вычислению определённого интеграла, чтобы найти объем параболоида. Используя математическую индукцию он смог обобщить свои результаты для интегралов от многочленов до четвертой степени. Таким образом, он был близок к поиску общей формулы для интегралов от полиномов, но он не касается любых многочленов выше четвертой степени. Значительный прогресс в исчислении интегралов появится лишь в XVI веке. В работах Кавальери с его методом неделимых, а также в работах Ферма, были заложены основы современного интегрального исчисления. Дальнейшие шаги были сделаны в начале XVII века Барроу и Торричелли, которые представили первые намеки на связь между интегрированием и дифференцированием.

Ньютон использовал малые вертикальные панели над переменной указывая интегрирование это или переменная. Вертикальную черту x' было легко спутать с, что Ньютон использовал для обозначения дифференцирования, это было трудно различать при печати и чтении, так что эти обозначения не были широко распространены. Современное обозначение неопределенного интеграла было введено Лейбницем в 1675 году. Он адаптировал интегральный символ, образованный из буквы S сокращения слова лат. summa (сумма). Современное обозначение определенного интеграла, с ограничениями над и под знаком интеграла, были впервые использованы Жаном Батистом Жозефом Фурье в

Русскоязычная традиция начертания знака интеграла отличается от принятой в некоторых западных странах. В англоязычной традиции, реализованной в системе LaTeX, символ существенно наклонён вправо. Немецкая форма интеграла вертикальна. В русскоязычной литературе символ выглядит так.

Метод интегрирования, при котором интеграл путем тождественных преобразований подинтегральной функции (или выражения) и применения свойств интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам, называется непосредственным интегрированием. (таблица) Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования (то есть подстановки). При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся. Общих методов подбора подстановок не существует. Умение правильно определить подстановку приобретается практикой. Интегрирование по частям применение следующей формулы для интегрирования: С помощью n-кратного применения этой формулы находится интеграл, где P n + 1 (x) многочлен (n + 1)-ой степени.

ВЫЧИСЛЕНИЕ ПУТИ, ПРОЙДЕННОГО ТОЧКОЙ ВЫЧИСЛЕНИЕ РАБОТЫ СИЛЫ ВЫЧИСЛЕНИЕ РАБОТЫ, ПРОИЗВОДИМОЙ ПРИ ПОДНЯТИИ ГРУЗА ВЫЧИСЛЕНИЕ СИЛЫ ДАВЛЕНИЯ ЖИДКОСТИ ДЛИНА ДУГИ ЦЕНТР МАСС ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ ФИГУРЫ ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМА ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ

Методы математического анализа активно развивались в следующем столетии (в первую очередь следует назвать имена Л. Эйлера, завершившего систематическое исследование интегрирования элементарных функций, и И. Бернулли). В развитии интегрального исчисления приняли участие русские математики М. В. Остроградский ( гг.), В. Я. Буняковский ( гг.), П. Л. Чебышев ( гг.). Принципиальное значение имели, в частности, результаты Чебышева, доказавшего, что существуют интегралы, не выразимые через элементарные функции. Строгое изложение теории интеграла появилось только в прошлом веке, Решение этой задачи связано с именами О. Коши, одного из крупнейших математиков немецкого ученого Б. Римана ( гг.), французского математика Г. Дарбу ( ). Ответы на многие вопросы, связанные с существованием площадей и объемов фигур, были получены с созданием К. Жорданом ( гг.) теории меры. Различные обобщения понятия интеграла уже в начале нашего столетия были предложены французскими математиками А. Лебегом ( гг.) и А. Данжуа ( ) советским математиком А. Я. Хичиным ( гг.)