ФУНКЦИЯ РОСТА Попова Т. Н. Волгоград, 2008 МОУСОШ 46

Математика – удивительная наука Если естественные науки изучают природу… Если гуманитарные науки изучают человека… То математика изучает то, что существует лишь в воображении: числа, геометрические тела, функции… И тем не менее с помощью этих абстракций можно описать всё, что есть в природе.

Рассмотрим это на примере показательной функции Показательная функция – функция вида, где a>0 и a1, где a>0 и a1 Оказывается, многие явления реального мира можно описать с помощью этой функции. Например… Оказывается, многие явления реального мира можно описать с помощью этой функции. Например…

Цепная ядерная реакция Цепная ядерная реакция, приводящая к ядерному взрыву, протекает таким образом: ядро атома радиоактивного элемента распадается, вылетающие нейтроны «врезаются» в другие ядра, те распадаются, процесс повторяется по нарастающей: чем больше нейтронов вылетело, тем больше ядер распадётся в следующий момент времени. Иначе: скорость изменения числа нейтронов зависит от самого числа нейтронов. Результат - взрыв. n(t) – число нейтронов в момент времени t, n 0 – начальное число нейтронов, k, - коэффициенты

Остывание нагретого тела Все знают, что чайник, снятый с огня вначале остывает быстро, а затем медленно, долго оставаясь тёплым. Дело в том, что скорость изменения температуры пропорциональна самой температуре, точнее разнице между температурой тела и окружающей среды. Чем меньше разница, тем медленней остывание. Это тоже экспонента, только убывающая: T(t) – температура тела в момент времени t, T 0 – начальное температура тела, T 1 – температура окружающей среды, k – коэффициент, зависящий от св-в тела

Неограниченное размножение Предположим, пара кроликов каждый месяц приносит ещё двоих, т.е. каждый месяц количество кроликов удваивается. Если начать с одной пары, сколько кроликов будет через год? Попробуйте ответить на этот вопрос приблизительно «с хода», а затем составьте таблицу.

Месяц Число кроликов Угадали? Это можно выразить формулой геометрической прогрессии: Снова мы видим вначале медленный, затем безудержно ускоряющийся рост, поскольку прирост числа кроликов пропорционален числу уже имеющихся кроликов.

Как мы увидели, если бы не существовало естественных ограничителей, таких как хищники или нехватка ресурсов, рост численности любого вида был бы неудержимым: потомство одного одуванчика за 10 лет может покрыть площадь в 15 раз больше площади всего земного шара (К. А. Тимирязев) девятое поколение одной пары мух способно заполнить куб с ребром 140 км. (К. Линней) за 5 поколений потомство одной тли составит 300 млн. особей потомство пары воробьёв при продолжительности жизни 4 года покроет весь земной шар за 35 лет

Рост банковского вклада Аналогично рассчитывается сумма банковского вклада с процентами: S(N) – сумма депозита с процентами через N периодов начисления (период начисления, как правило, год), К – первоначальный депозит (капитал), P – процентная ставка на период начисления в десятичной форме. Например, при капитале в 1000 руб. и процентной ставке 10%, рост вклада будет происходить так: Негусто… За 10 лет прибыль составила лишь около 600 руб., а график слабо отличается от линейного. Но что будет, если у вкладчика хватит терпения подождать 50 лет?

Вклад вырос до более, чем 11 тыс. руб., форма графика стала напоминать экспоненциальную. Но наш вкладчик не сдаётся, он решил оставить завещание потомкам, и они явились за вкладом через 100 лет! Вклад вырос достиг почти 135 тыс. рублей, график приобрёл выраженную экспоненциальную форму. За первые 50 лет прирост составил немногим более 10 тыс., за последующие 50 – свыше 120 тыс. рублей. Скорость роста вклада пропорциональна размеру вклада.

Сделаем выводы Мы рассмотрели примеры из неживой природы (физика), из живого мира (биология) и из мира людей (финансы). Думаю, вы без труда найдёте в разнообразии примеров единую математическую основу. Итак, попытайтесь догадаться, какими свойствами должно обладать явление, чтобы учёный-экспериментатор мог попытаться описать его с помощью показательной функции?

Верно. Если скорость роста (падения) какой-либо величины пропорциональна самой этой величине – ищи экспоненту. Ведь производная (т.е. скорость приращения) показательной функции пропорциональна самой функции. Этого условия достаточно, чтобы описать разнородные процессы схожими формулами. Способность невероятного разнообразия мира быть описанным простым и чётким языком математики – величайшая загадка природы.