Теоремы и методика их изучения в школьном курсе математики ТМОМ Методические основы обучения математике

План 1.Теоремы и доказательства (сведения из логики) a)сущность понятий «доказательство» и «теорема»; b)структура доказательства; c)формулировка теоремы, виды формулировок; d)виды теорем; e)методы доказательства теорем 2. Методические основы обучения доказательствам a)Этапы работы с теоремой b)Методы введения формулировки c)Приемы поиска доказательства d)Формы представления доказательства e)Система задач, направленная на усвоение теоремы f)Уровни обучения учащихся доказательствам

Сведения из логики Доказательством называют конечную последовательность предложений данной теории, каждое из которых либо является аксиомой, либо выводится из одного или нескольких предыдущих предложений этой теории по правилам логического вывода. Теорема – предложение, которое является последним в каком - либо доказательстве

Правила вывода X Y, X - правило заключения Y X Y, Y - правило отрицания X X Y - правило контрапозиции Y X X Y Z - правило расширенной контрапозиции X Z Y X Y, Y Z - правило силлогизма X Z

Структура доказательства Тезис – суждение, истинность которого доказывается. Аргументы доказательства – суждения, истинность которых установлена и из которых необходимо следует истинность доказываемого тезиса (определения понятий, аксиомы, постулаты, теоремы, общие законы науки). Демонстрация – логический процесс взаимосвязи суждений, при котором осуществляется переход от аргументов к тезису.

Требования к элементам доказательства Тезис: сформулирован ясно, точно, определенно и непротиворечиво; остается неизменным на протяжении всего доказательства или заменяется только равносильным суждением; не должен находиться в противоречии с доказанными ранее суждениями. Аргументы: аргумент должен быть истинным; истинность аргумента должна быть доказана независимо от тезиса; аргументы должны быть непротиворечивыми. Демонстрация: полнота демонстрации; построение по правилам вывода.

Формулировки теорем Виды формулировок : категорическая; условная (импликативная). Структура формулировки: условие; заключение; разъяснительная часть. Логическая структура условия и заключения: конъюнктивная; дизъюнктивная.

Виды теорем P Q - прямое утверждение (теорема), Q P - обратное утверждение (теорема), P Q - противоположное утверждение(теорема), Q P - контрапозитивное утверждение (теорема) P Q и Q P - пары равносильных Q P и P Q утверждений (теорем)

Если импликация P Q является теоремой, то : условие P называется достаточным условием для условия Q, а условие Q – необходимым условием для условия P. Если теоремами являются импликации P Q и Q P, то каждое из условий является необходимым и достаточным для другого.

Методы доказательства теорем Метод доказательства – способ связи аргументов при переходе от условия к заключению Методы (по способу обоснования тезиса) Прямого доказательства Преобразование условия (синтетический) Преобразование заключения (аналитический) Восходящий анализ Нисходящий анализ Преобразование и условия, и заключения Косвенного доказательства «От противного»Разделительный

Логико-математический анализ теоремы Логический анализ - раскрытие логической структуры предложения, вида суждения и способа его конструирования; Математический анализ - раскрытие математического содержания выделенных элементов структуры. Логико-математический анализ предполагает: установление формы формулировки; определение вида суждения; перевод формулировки, если необходимо, в импликативную форму; запись структуры теоремы, т.е. вычленение разъяснительной части, условия, заключения с выделением простых высказываний и логических связок; формулирование обратного утверждения и определение его истинности.

Теорема о свойстве смежных углов: Сумма смежных углов равна 180 градусам сформулирована в категоричной форме; вид суждения – простое, общеутвердительное; импликативная форма: если любые два угла смежные, то их сумма равна 180 градусам; разъяснительная часть: множество углов; условие: углы смежные; заключение: сумма углов равна 180 градусам; обратное утверждение: если сумма двух углов равна 180 градусам, то они смежные, - теоремой не является.

Этапы работы с теоремой профессиональный – выполнение логико- математического анализа, выбор методов работы, отбор содержания; подготовительный – актуализация необходимых знаний учащихся, мотивация необходимости изучения факта; введение формулировки теоремы и осуществление ее доказательства - первичное усвоение факта и его доказательства учащимися; применение теоремы в качестве аргумента при выводе следствий.

Этапы изучения теоремы учащимися (по Г.И. Саранцеву) 1.Мотивация изучения. 2.Ознакомление с фактом, отраженным в теореме. 3.Формулировка теоремы. 4.Усвоение содержания теоремы, ее структуры. 5.Ознакомление со способом доказательства. 6.Доказательство теоремы. 7.Применение теоремы. 8.Установление связи с другими теоремами.

Методы введения теоремы Подходы к введению теоремы Конкретно- индуктивный метод Движение мысли от частного к общему Абстрактно – дедуктивный метод Движение мысли от общего к частному

Обучение учащихся доказательству Обучение доказательству – обучение мыслительным процессам поиска, нахождения и построения доказательства, а не воспроизведению и заучиванию готовых доказательств. Сущность обучения доказательствам сводится к обучению поиска ответов на три основных вопроса : ЧТО ? ОТКУДА ? КАК ?

Приемы поиска прямого доказательства Преобразование условий (синтетический) Суть приема в доказательстве того, что заключение необходимо для условия доказываемого предложения, Схема рассуждений: P P 1 P 2 … P n Q Преобразование заключения Восходящий анализ Суть приема в доказательстве того, что условие теоремы достаточно для ее заключения, Схема рассуждения: P P n … P 2 P 1 Q Нисходящий анализ Суть приема в установлении факта, что условие необходимо для заключения, с последующим обращением цепочки рассуждений, Схема рассуждения: Q Q 1 Q 2 … Q n P и Q Q 1 Q 2 … Q n P

Прием аналитико-синтетического поиска доказательства Разворачиваются условия: на основе ранее изученных определений и теорем выводятся следствия ( А А 1 А 2 … ) Расширенный список свойств сравнивается с заключением Отыскивается совокупности свойств, достаточные для заключения ( … В 2 В 1 В) Отбирается одна из совокупностей свойств достаточных для доказательства (определение или признак понятия).

Выводятся следствия из ранее найденных следствий, достаточных по отношению одному из свойств, входящих в совокупность достаточных для заключения свойств Замыкание цепочек, идущих от условия и ведущих к заключению Схема рассуждений: А А 1 А 2 … А n В n … В 2 В 1 В Прием аналитико-синтетического поиска доказательства

Приемы поиска косвенного доказательства Доказательство «от противного» ( частный случай нисходящего анализа) Суть приема – предположение об истинности антитезиса приводит к противоречию с условием, аксиомой или ранее доказанной теоремой. Разделительное доказательство (прием исключения) Суть приема - выдвигаются и затем опровергаются все возможные альтернативы тезису теоремы.

Формы представления доказательства Цепочки рассуждений Схема действий: 1.Указывается большая посылка (истинное предложение теории). 2.Указывается малая посылка (частное свойство рассматриваемых объектов или условие тезиса). 3.Делается вывод на основе правила заключения или правила отрицания. Цепочки истинных предложений Схема действий: 1.Указывается некоторое частное истинное утверждение. 2.Указывается положение, обосновывающее истинность частного суждения (положение теории или частное условие тезиса теоремы).

Система задач на усвоение теоремы и ее доказательства на раскрытие необходимости знания математического факта, сформулированного в теореме; на актуализацию фактов, используемых при доказательств и способов доказательств, аналогичных используемым для данной теоремы; на осознание факта, сформулированного в теореме; на усвоение формулировки; на усвоение отдельных этапов доказательства;

на повторение хода доказательства (например, на других чертежах); на отыскание другого способа доказательства; на применение теоремы для получения новых математических фактов (следствий); на применение теоремы для решения других задач на вычисление, построение и доказательства. Система задач на усвоение теоремы и ее доказательства

Уровни обучения доказательствам (по Г.И. Саранцеву) 5 -6 класс формирование потребности в логических доказательствах; формирование умения осуществлять дедуктивные выводы; 6 -7 класс обучение эвристическим приемам и их применению; обучение выполнению цепочки логических шагов; 7 класс обучение самостоятельному разбору готового доказательства; формирование умения выделять идею доказательства; 7 – 8 класс обучение использования методов научного познания; привлечение к самостоятельному доказательству; 9 класс обучение умению опровергать предложенные доказательства.

Благодарю за внимание!