Арифметическая и геометрическая прогрессии (обобщающий урок)

Термин прогрессия был введен римским автором Боэцием еще в IV в. н.э. От латинского слова progressio – движение вперед.Термин прогрессия был введен римским автором Боэцием еще в IV в. н.э. От латинского слова progressio – движение вперед. Первые представления об арифметической прогрессии были еще у древних народов. В клинописных вавилонских табличках и египетских папирусах встречаются задачи на прогрессии и указания как их решать.Первые представления об арифметической прогрессии были еще у древних народов. В клинописных вавилонских табличках и египетских папирусах встречаются задачи на прогрессии и указания как их решать. Считалось, что в древнеегипетском папирусе Ахмеса находилась древнейшая задача на прогрессии о вознаграждении изобретателя шахмат, насчитывающая за собою двухтысячелетнюю давность.Считалось, что в древнеегипетском папирусе Ахмеса находилась древнейшая задача на прогрессии о вознаграждении изобретателя шахмат, насчитывающая за собою двухтысячелетнюю давность. Но есть гораздо более старая задача о делении хлеба, которая записана в знаменитом египетском папирусе Ринда. Папирус этот, разысканный Риндом полвека назад, составлен около 2000 лет до нашей эры и является списком с другого, еще более древнего математического сочинения, относящегося, быть может, к третьему тысячелетию до нашей эры. В числе арифметических, алгебраических и геометрических задач этого документа имеется такая, которую мы приводим в вольной передаче.Но есть гораздо более старая задача о делении хлеба, которая записана в знаменитом египетском папирусе Ринда. Папирус этот, разысканный Риндом полвека назад, составлен около 2000 лет до нашей эры и является списком с другого, еще более древнего математического сочинения, относящегося, быть может, к третьему тысячелетию до нашей эры. В числе арифметических, алгебраических и геометрических задач этого документа имеется такая, которую мы приводим в вольной передаче.

Задача из папируса Ринда Сто мер хлеба разделили между 5 людьми так, чтобы второй получил на столько же больше первого, на сколько третий получил больше второго, четвертый больше третьего и пятый больше четвертого. Кроме того, двое первых получили в 7 раз меньше трех остальных. Сколько нужно дать каждому?

Очевидно, количество хлеба, полученные участниками раздела, составляют возрастающую арифметическую прогрессию. Пусть первый ее член x, разность y. Тогда: Решение: Очевидно, количество хлеба, полученные участниками раздела, составляют возрастающую арифметическую прогрессию. Пусть первый ее член x, разность y. Тогда: а 1 –Доля первого – x,а 1 –Доля первого – x, а 2 –Доля второго – x+y,а 2 –Доля второго – x+y, а 3 –Доля третьего – x+2y,а 3 –Доля третьего – x+2y, а 4 –Доля четвертого – x+3y,а 4 –Доля четвертого – x+3y, а 5 –Доля пятого – x+4у.а 5 –Доля пятого – x+4у. На основании условия задачи составляем следующие 2 уравнения:На основании условия задачи составляем следующие 2 уравнения:

На основании условия задачи составляем следующие 2 уравнения: Решив эту систему, имеем: Значит, хлеб должен быть разделен на следующие части:

Занимательное свойство арифметической прогрессии. А теперь, рассмотрим еще одно свойство членов арифметической прогрессии. Оно, скорее всего, занимательное. Нам дана стайка девяти чисел 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15,17, 19. 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15,17, 19. Она представляет собой арифметическую прогрессию. Кроме того, данная стайка чисел привлекательна способностью разместиться в девяти клетках квадрата так, что образуется магический квадрат с константой, равной 33 Она представляет собой арифметическую прогрессию. Кроме того, данная стайка чисел привлекательна способностью разместиться в девяти клетках квадрата так, что образуется магический квадрат с константой, равной 33

Знаете ли вы, что такое магический квадрат? Квадрат, состоящий из 9 клеток, в него вписывают числа, так чтобы сумма чисел по вертикали, горизонтали диагонали была одним и тем же числом constanta. Квадрат, состоящий из 9 клеток, в него вписывают числа, так чтобы сумма чисел по вертикали, горизонтали диагонали была одним и тем же числом – constanta Замечание об арифметической прогрессии само по себе очень интересно. Дело в том, что из каждых девяти последовательных членов любой арифметической прогрессии натуральных чисел можно составить магический квадрат. Замечание об арифметической прогрессии само по себе очень интересно. Дело в том, что из каждых девяти последовательных членов любой арифметической прогрессии натуральных чисел можно составить магический квадрат.

Нетрудно видеть, что Нетрудно видеть, что получился магический получился магический квадрат, константа C квадрат, константа C которого равна 3a+12d. которого равна 3a+12d. Действительно, сумма Действительно, сумма чисел в каждой строке, чисел в каждой строке, в каждом столбце и по каждой диагонали квадрата равна 3a+12d. в каждом столбце и по каждой диагонали квадрата равна 3a+12d. a+3da+8da+d a+2da+4da+6d a+7daa+5d Пусть дана арифметическая прогрессия: a, a+d, a+2d, a+3d, …, a+8d, где a и d натуральные числа. Расположим её члены в таблицу. Пусть дана арифметическая прогрессия: a, a+d, a+2d, a+3d, …, a+8d, где a и d натуральные числа. Расположим её члены в таблицу.