Фракталы Фрактал (от лат. – дробленый, состоящий из фрагментов) – термин, обозначающий геометрическую фигуру, которая обладает свойством самоподобия, т.е. составленную из нескольких частей, каждая их которых подобна всей фигуре целиком. Небольшая часть фрактала содержит информацию о всем фрактале. Фракталы подобны самим себе, они похожи сами на себя на всех уровнях (т.е. в любом масштабе). Фракталы – геометрические объекты с дробной размерностью. К примеру, размерность линии – 1, площади – 2, объема – 3. У фрактала же значение размерности может быть между 1 и 2 или между 2 и 3. К примеру, фрактальная размерность скомканного бумажного шарика приблизительно равна 2,5. В математике существует специальная сложная формула для вычисления размерности фракталов. Разветвления трубочек трахей, листья на деревьях, вены в руке, река - это фракталы. Существует много различных типов фракталов. В принципе, можно утверждать, что всё, что существует в реальном мире, является фракталом, будь то облако или молекула кислорода. Фрактальными свойствами обладают побережья, границы государств, облака, снежинки, кроны деревьев, кровеносная система.

Фракталы находят всё большее применение в науке. Они описывают реальный мир даже лучше, чем традиционная физика или математика. Броуновское движение - это, например, случайное и хаотическое движение частичек пыли, взвешенных в воде. Этот тип движения, возможно, является аспектом фрактальной геометрии, имеющий наибольшее практическое использование. Случайное броуновское движение имеет частотную характеристику, которая может быть использована для предсказания явлений, включающих большие количества данных и статистики. К примеру, Мандельброт предсказал при помощи броуновского движения изменение цен на шерсть. Наиболее полезным использованием фракталов в компьютерной технике является фрактальное сжатие данных. При этом картинки сжимаются гораздо лучше, чем это делается обычными методами - до 600:1. Другое преимущество фрактального сжатия в том, что при увеличении не наблюдается эффекта пикселизации, резко ухудшающего картинку. Мало того, фрактально сжатая картинка после увеличения часто выглядит даже лучше, чем до него. Cпециалистам в области компьютерной техники известно также, что фракталы бесконечной сложности и красоты могут быть сгенерированы простыми формулами. Индустрия кино для создания реалистичных элементов ландшафта (облака, скалы и тени) широко использует технологию фрактальной графики.

Изучение турбулентности в потоках очень хорошо подстраивается под фракталы. Это позволяет лучше понять динамику сложных потоков. При помощи фракталов также можно смоделировать языки пламени. Пористые материалы хорошо представляются в фрактальной форме в связи с тем, что они имеют очень сложную геометрию. Для передачи данных на расстояния используются антенны, имеющие фрактальные формы, что сильно уменьшает их размеры и вес. Фракталы используются для описания кривизны поверхностей. Неровная поверхность характеризуется комбинацией из двух разных фракталов.

Классификация фракталов 1.Конструктивные (построенные с помощью определенных рекурсивных процедур). 2.Динамические (порождаемые динамическими системами). 3.Естественные (наблюдаемые в природе).

Конструктивные фракталы Канторово множество (Георг Кантор, 1883г.) Из единичного интервала вынимается средняя треть, затем процедура повторяется с каждым оставшимся отрезком и так до бесконечности. В пределе получается множество с мощностью континуума и топологической размерностью = 0.

Самыми известными примерами фракталов являются множество Жюлиа, множество Мандельброта, кривая (снежинка) Коха, треугольник Серпинского, дерево Пифагора. Они могут быть получены путем применения рекурсивной процедуры. Зададим произвольную ломаную с конечным числом звеньев, называемую генератором. Далее, заменим в ней каждый отрезок генератором (точнее, ломаной, подобной генератору). В получившейся ломаной вновь заменим каждый отрезок генератором. Продолжая до бесконечности, в пределе получим фрактальную кривую. Кривая Коха – несамопересекающаяся непрерывная кривая бесконечной длины. Генератор – треугольник со стороной, равной 1/3 кривой. Дерево Пифагора

Замкнутая кривая Коха образует снежинку Коха – объединение бесконечного числа областей, чьи границы являются треугольниками. Периметр снежинки растет и стремится к бесконечности с увеличением числа итераций. Длина границы снежинки Коха бесконечна, тогда как площадь остается конечной. Коэффициент подобия данной фигуры = 1/3. Первые 4 итерации Семь итераций

Треугольник Серпинского – фрактал, один из двумерных аналогов множества Кантора, предложенный польским математиком В. Серпинским. Также известен как «решетка» или «салфетка». Построение: берется сплошной равносторонний треугольник, на 1-м шаге удаляется внутренность серединного треугольника. На 2-м шаге удаляется 3 серединных треугольника из 3- х оставшихся треугольников и т.д. После бесконечного повторения этой процедуры от сплошного треугольника остается подмножество – треугольник Серпинского. Данный фрактал строится на основе системы итерационной функции и имеет фиксированное правило геометрической замены.

Тетрикс (tetrix) – трехмерный аналог треугольника Серпинского

Множество Мандельброта Данная фрактальная структура получается путем многократного применения алгебраического преобразования (рекуррентного соотношения) с использованием функции комплексного переменного. Черный цвет в середине показывает, что в этих точках функция стремится к нулю - это и есть множество Мандельброта. За пределами этого множества функция стремится к бесконечности. Cамое интересное - это границы множества. Они то и являются фрактальными. На границах этого множества функция ведет себя непредсказуемо - хаотично.

Множество Жюлиа

Еще некоторые примеры конструктивных фракталов

Пример естественного фрактала – береговая линия Чтобы представить себе фрактал понаглядней рассмотрим пример, приведенный в книге Б.Мандельброта "The Fractal Geometry of Nature" ("Фрактальная геометрия природы") и ставший классическим - "Какова длина берега Британии?". Ответ на этот вопрос не так прост, как кажется. Все зависит от длины инструмента, которым мы будем пользоваться. Померив берег с помощью километровой линейки мы получим какую-то длину. Однако мы пропустим много небольших заливчиков и полуостровков, которые по размеру намного меньше нашей линейки. Уменьшив размер линейки до, скажем, 1 метра - мы учтем эти детали ландшафта, и, соответственно длина берега станет больше. Пойдем дальше и измерим длину берега с помощью миллиметровой линейки, мы тут учтем детали, которые больше миллиметра, длина будет еще больше. В итоге ответ на такой, казалось бы, простой вопрос может поставить в тупик кого угодно - длина берега Британии бесконечна.

Масштаб = 200 км, длина = 2400 км Масштаб = 100 км, длина = 2800 км Масштаб = 50 км, длина = 3400 км

Применение фракталов 1)В компьютерной графике для построения изображений природных объектов, деревьев, горных ландшафтов, поверхностей морей. 2)В последнее время «трейдеры» используют фракталы для анализа курса фондовых бирж, валютных и торговых бирж. 3)В физике при моделировании турбулентного течения жидкости. 4)В радиотехнике - Фрактальные антенны. Использование фрактальной геометрии при проектировании антенных устройств было впервые применено американским инженером Натаном Коэном, который тогда жил в центре Бостона, где была запрещена установка внешних антенн на здания. Натан вырезал из алюминиевой фольги фигуру в форме кривой Коха и наклеил её на лист бумаги, затем присоединил к приёмнику. Коэну основал собственную компанию и наладил их серийный выпуск.антенных устройствБостонаалюминиевойкривой Кохаприёмнику 5) В биологии для моделирования популяций и для описания, например, системы кровеносных сосудов.