«КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ» Автор: учитель математики средней школы 130 Московского района города Казани НУРГАЕВА НАТАЛЬЯ АЛЕКСАНДРОВНА 1 из 24

Содержание: 1. Введение 2. Квадратные уравнения 3. Примеры решения квадратных уравнений 4. Задания для самостоятельной работы 5. Ответы к самостоятельной работе 6. Используемые источники из 24

Квадратные уравнения. Главное меню1. Определение квадратного уравнения. 2. Неполные квадратные уравнения из 24

Примеры решения квадратных уравнений. Главное меню1. Решение неполных квадратных уравнений. 2. Решение квадратного уравнения выделением квадрата двучлена. 3. Решение квадратного уравнений по формуле из 24

Задания для самостоятельной работы. 1. Неполное квадратное уравнение. 2. Решение квадратного уравнения выделением квадрата двучлена. 3. Решение квадратных уравнений по формуле Главное меню 5 из 24

Уравнение – равенство, содержащие переменную. Решить уравнение – найти все его корни или доказать, что их нет. Корень уравнения – значение переменной, которое обращает уравнение в верное числовое равенство. Главное меню 6 из 24

Исторические сведения. Неполные квадратные уравнения умели решать вавилоняне (около 2 тыс. лет до н.э.). Об этом свидетельствует найденные клинописные тексты задач с решениями (в виде рецептов). Некоторые виды квадратных уравнения, сводя их решение к геометрическим построениям, могли решать древнегреческие математики. Примеры решения уравнений без геометрии даёт Диофант Александрийский ( III в.). В дошедших до нас шести из 13 книг «Арифметика» содержаться задачи с решениями, в которых Диофант объясняет, как надо выбрать неизвестное, чтобы получить решение уравнения вида ax=b или ax2=b. Способ решения полных квадратных уравнений Диофант изложил в книгах «Арифметика», которые не сохранились. Главное меню 7 из 24

Правило решения квадратных уравнений, приведённых к виду ax2+bx=c, где a>0, дал индийский учёный Брахмагупта ( III в.). В тракте «Китаб аль-джебр валль-мукабала» хорезмский математик аль-Хорезми разъясняет приёмы решения уравнений вида ax2=bx, ax2=c, ax=c, ax2+c=bx, ax2+bx=c, bx+c=ax2, (буквами a, b и c обозначены лишь положительные числа) и отыскивает только положительные корни. Общее правило решения квадратный уравнений, приведённых к виду x2+bx=c, было сформулировано немецким математиком М.Штифелем ( ). Выводом формулы решения квадратных уравнений общего вида занимался Виет. Однако своё утверждение он высказывал лишь для положительных корней (отрицательных чисел он не признавал). 8 из 24

После трудов нидерландского математика А Жирара ( ), а также Декарта и Ньютона способ решения квадратных уравнений принял современный вид. Формулы, выражающие зависимость корней уравнения от его коэффициентов, были введены Виетом в 1591 г. Для квадратного уравнения теорема Виета в современных обозначениях выглядела так, корням уравнения (a+b)x-x2=ab являются числа a и b. Главное меню 9 из 24

Определение: Квадратным уравнением называется уравнение вида ax2+bx+c=0, где x – переменная, a, b и c – некоторые числа, причём a0 Числа a, b и c – коэффициенты квадратного уравнения. Число a – первый коэффициент, b – второй коэффициент и с – свободный член. 2 Главное меню 10 из 24

Если в квадратном уравнении ax2+bx+c=0 хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением. Неполные квадратные уравнения бывают трёх видов: 1) ax2+c=0, где с0; 2) a a a ax2+bx=0, где b 0; 3) ax2=0. 2 Главное меню 11 из 24

1) Ответ: - 6; 6. 2) 3 Главное меню 12 из 24

3) Произведение множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другие при этом не теряют смысла. 3 Главное меню 13 из 24

4) 5) Решений нет, так как квадрат числа не может быть отрицательным числом. Ответ: решений нет 3 Главное меню 14 из 24

1) 2) 0=0, верно Ответ: -9, -3 3 Главное меню 15 из 24

3) 3 Главное меню 16 из 24

1) D – дискриминант квадратного уравнения 1. Если D>0, то уравнение имеет два различных корня: 2. Если D=0, то уравнение имеет два одинаковых корня: 3. Если D

3 Главное меню 18 из 24

3 Главное меню 19 из 24

Неполное квадратное уравнение. 1 уровень: 1. 3х 2 – 12 = х 2 – 18 = 0 3. х 2 + 2х = 0 4. х 2 - 3х = х 2 = 0 2 уровень: 1. 4х 2 – 25 = х 2 – 4 = х 2 = 3х 4. 3х 2 = - 2х 5. 2 = 7х Главное меню 20 из 24

Решение квадратного уравнения выделением квадрата двучлена. 1.х 2 + х – 6 = 0 2. х 2 + 4х + 3 = х х – 3 = 0 4 Главное меню 21 из 24

Решение квадратных уравнений по формуле. 1 уровень: 1. х 2 + х - 72 = у 2 + 6у + 1 = 0 3. х 2 + 7х – 44 = 0 4. а + 3а 2 = уровень: 1. х 2 –5х - 84 = у 2 – 4у + 1 = 0 3. х 2 – 10х - 39= а = а 4 Главное меню 22 из 24

Ответы к самостоятельной работе. 1) Неполные квадратные уравнения 1 уровень 2 уровень 1.-2, , , , , ) Решение квадратного уравнения выделением квадрата двучлена. 1.-3, , 3. -3, 1/5 3) Решение квадратных уравнений по формуле. 1 уровень 2 уровень 1. -9, , , , /3 4. решений нет 2. ½ 4. решений нет Главное меню 23 из 24

Используемые источники. 1.Учебник «Алгебра, 8 класс» под редакцией С.А. Теляковского. Москва «Просвещение», 2000 г. 2.«Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и геометрии для 8 класса» Ершова А.П. и другие. Москва «Илекса», 2005 г. Главное меню 24 из 24