Структурная основа мира (фракталы) Выполнил: учащийся 9В класса ГОУ СОШ 546 г.Москвы Михнушев Анатолий Руководители: О. И. Милешина, учитель информатики и ИКТ ГОУ СОШ 546 И. Л. Рудюк, учитель математики ГОУ СОШ

Актуальность Интерес к проблеме обусловлен возросшей ролью фракталов в машинной графике. Они незаменимы при генерации искусственных облаков, гор, поверхности моря. Красота мира фракталов привлекает многих от художников, и модельеров до биологов, физиков и математиков. В своей работе я попытаюсь ответить на вопрос «Что такое фрактал?». Интерес к проблеме обусловлен возросшей ролью фракталов в машинной графике. Они незаменимы при генерации искусственных облаков, гор, поверхности моря. Красота мира фракталов привлекает многих от художников, и модельеров до биологов, физиков и математиков. В своей работе я попытаюсь ответить на вопрос «Что такое фрактал?».

Понятие "фрактал" Понятия фрактал и фрактальная геометрия, появившиеся в конце 70-х, с середины 80-х прочно вошли в обиход математиков и программистов. Слово фрактал образовано от латинского fractus и в переводе означает состоящий из фрагментов. Оно было предложено Бенуа Мандельбротом в 1975 году для обозначения нерегулярных, но самоподобных структур, которыми он занимался. Рождение фрактальной геометрии принято связывать с выходом в 1977 году книги Мандельброта `The Fractal Geometry of Nature'. В его работах использованы научные результаты других ученых, работавших в период годов в той же области.Но только в наше время удалось объединить их работы в единую систему.

«Фрактал» Следует отметить, что слово «фрактал» не является математическим термином и не имеет общепринятого строгого математического определения. Оно может употребляться, когда рассматриваемая фигура обладает какими- либо из перечисленных ниже свойств: Обладает нетривиальной структурой на всех шкалах. В этом отличие от регулярных фигур (таких, как окружность, эллипс, график гладкой функции): если мы рассмотрим небольшой фрагмент регулярной фигуры в очень крупном масштабе, он будет похож на фрагмент прямой. Для фрактала увеличение масштаба не ведёт к упрощению структуры, на всех шкалах мы увидим одинаково сложную картину. Является самоподобной или приближённо самоподобной. Обладает дробной метрической размерностью или метрической размерностью, превосходящей топологическую. Многие объекты в природе обладают фрактальными свойствами, например, побережья, облака, кроны деревьев, кровеносная система и система альвеол человека или животных. Фракталы, особенно на плоскости, популярны благодаря сочетанию красоты с простотой построения при помощи компьютера.

Фракталы в природе Созданию теории биоинформационного программирования информационно- обменных процессов активных форм (BIP) предшествовал комплексный теоретический анализ научных данных и эмпирических находок разных научных дисциплин (И.Н.Серов). За последние 10 лет многие положения, ставшие основой теории BIP, получили экспериментальное подтверждение и явились фундаментом для создания ряда технологических разработок, основу которых составляют фрактальные топологии. Созданию теории биоинформационного программирования информационно- обменных процессов активных форм (BIP) предшествовал комплексный теоретический анализ научных данных и эмпирических находок разных научных дисциплин (И.Н.Серов). За последние 10 лет многие положения, ставшие основой теории BIP, получили экспериментальное подтверждение и явились фундаментом для создания ряда технологических разработок, основу которых составляют фрактальные топологии. В последнее время все больше и больше возникает вопросов, связанных с тем, как фрактальные топологии выражают себя в тех или иных биологических объектах. В связи с этим мы предлагаем целый ряд фотографий рисунков, выполненных немецким зоологом Э.Геккелем (1902г). На фотографиях представлены простейшие биологические объекты, являющиеся составной частью планктона. Сравнив структурную организацию их панцирей и скелетов с топологиями известных фрактально-матричных резонаторов, можно сделать однозначные выводы. В последнее время все больше и больше возникает вопросов, связанных с тем, как фрактальные топологии выражают себя в тех или иных биологических объектах. В связи с этим мы предлагаем целый ряд фотографий рисунков, выполненных немецким зоологом Э.Геккелем (1902г). На фотографиях представлены простейшие биологические объекты, являющиеся составной частью планктона. Сравнив структурную организацию их панцирей и скелетов с топологиями известных фрактально-матричных резонаторов, можно сделать однозначные выводы.

Фракталы в природе

В заключении необходимо отметить, что если фрактально-матричные топологии имеют столь ярко выраженные биологические "прототипы", как видно на фотографиях, то их влияние на жизнедеятельность человека адекватно параметрам среды обитания и, следовательно, не может быть негативным. В заключении необходимо отметить, что если фрактально-матричные топологии имеют столь ярко выраженные биологические "прототипы", как видно на фотографиях, то их влияние на жизнедеятельность человека адекватно параметрам среды обитания и, следовательно, не может быть негативным.

Фракталы в природе Природа зачастую создаёт удивительные и прекрасные фракталы, с идеальной геометрией и такой гармонией, что просто замираешь от восхищения. От гигантских гор, до того, что мы кушаем за обедом, везде можно увидеть идеальную гармонию Природа зачастую создаёт удивительные и прекрасные фракталы, с идеальной геометрией и такой гармонией, что просто замираешь от восхищения. От гигантских гор, до того, что мы кушаем за обедом, везде можно увидеть идеальную гармонию Морские раковины Nautilus является одним из наиболее известных примеров фрактала в природе Молнии Молнии ужасают и пугают и одновременно восхищают своей красотой. Фракталы созданные молнией не произвольны и не регулярны

Фракталы в природе Лёд, морозные узоры на окнах это тоже фракталы Деревья и листья от увеличенного изображения листочка, до ветвей дерева – во всём можно обнаружить фракталы Романессу Это особый вид брокколи, крестоцветный двоюродный брат капусты - является особенно симметричным фракталом

Геометрические фракталы. Геометрические фракталы. Геометрические фракталы Именно с них и начиналась история фракталов. Этот тип фракталов получается путем простых геометрических построений. Обычно при построении этих фракталов поступают так: берется "затравка" - аксиома - набор отрезков, на основании которых будет строиться фрактал. Далее к этой "затравке" применяют набор правил, который преобразует ее в какую-либо геометрическую фигуру. Далее к каждой части этой фигуры применяют опять тот же набор правил. С каждым шагом фигура будет становиться все сложнее и сложнее, и если мы проведем (по крайней мере, в уме) бесконечное количество преобразований - получим геометрический фрактал Именно с них и начиналась история фракталов. Этот тип фракталов получается путем простых геометрических построений. Обычно при построении этих фракталов поступают так: берется "затравка" - аксиома - набор отрезков, на основании которых будет строиться фрактал. Далее к этой "затравке" применяют набор правил, который преобразует ее в какую-либо геометрическую фигуру. Далее к каждой части этой фигуры применяют опять тот же набор правил. С каждым шагом фигура будет становиться все сложнее и сложнее, и если мы проведем (по крайней мере, в уме) бесконечное количество преобразований - получим геометрический фрактал

Снежинка Коха Из геометрических фракталов очень интересным и довольно знаменитым является первый - снежинка Коха. Строится она на основе равностороннего треугольника. Каждая линия которого ___ заменяется на 4 линии каждая длинной в 1/3 исходной _/\_. Таким образом, с каждой итерацией длинна кривой увеличивается на треть. И если мы сделаем бесконечное число итераций - получим фрактал - снежинку Коха бесконечной длинны. Получается, что наша бесконечная кривая покрывает ограниченную площадь Из геометрических фракталов очень интересным и довольно знаменитым является первый - снежинка Коха. Строится она на основе равностороннего треугольника. Каждая линия которого ___ заменяется на 4 линии каждая длинной в 1/3 исходной _/\_. Таким образом, с каждой итерацией длинна кривой увеличивается на треть. И если мы сделаем бесконечное число итераций - получим фрактал - снежинку Коха бесконечной длинны. Получается, что наша бесконечная кривая покрывает ограниченную площадь

Треугольник Серпинского Для построения из центра равностороннего треугольника "вырежем" треугольник. Повторим эту же процедуру для трех образовавшихся треугольников (за исключением центрального) и так до бесконечности. Если мы теперь возьмем любой из образовавшихся треугольников и увеличим его - получим точную копию целого. В данном случае мы имеем дело с полным самоподобием. Для построения из центра равностороннего треугольника "вырежем" треугольник. Повторим эту же процедуру для трех образовавшихся треугольников (за исключением центрального) и так до бесконечности. Если мы теперь возьмем любой из образовавшихся треугольников и увеличим его - получим точную копию целого. В данном случае мы имеем дело с полным самоподобием. Число треугольных пор все меньшего и меньшего масштаба в нем бесконечно. Число черных треугольников в этом построении растет как 3 n, где n номер шага, а длина их стороны уменьшается как 2 –n Число треугольных пор все меньшего и меньшего масштаба в нем бесконечно. Число черных треугольников в этом построении растет как 3 n, где n номер шага, а длина их стороны уменьшается как 2 –n

Алгебраические фракталы. Вторая большая группа фракталов - алгебраические. Свое название они получили за то, что их строят, на основе алгебраических формул иногда весьма простых. Методов получения алгебраических фракталов несколько. Один из методов представляет собой многократный (итерационный) расчет функции Zn+1=f(Zn), где Z - комплексное число, а f некая функция. Расчет данной функции продолжается до выполнения определенного условия. И когда это условие выполнится - на экран выводится точка. При этом значения функции для разных точек комплексной плоскости может иметь разное поведение:. Вторая большая группа фракталов - алгебраические. Свое название они получили за то, что их строят, на основе алгебраических формул иногда весьма простых. Методов получения алгебраических фракталов несколько. Один из методов представляет собой многократный (итерационный) расчет функции Zn+1=f(Zn), где Z - комплексное число, а f некая функция. Расчет данной функции продолжается до выполнения определенного условия. И когда это условие выполнится - на экран выводится точка. При этом значения функции для разных точек комплексной плоскости может иметь разное поведение: С течением времени стремится к бесконечности. С течением времени стремится к бесконечности. Стремится к 0 Стремится к 0 Принимает несколько фиксированных значений и не выходит за их пределы. Принимает несколько фиксированных значений и не выходит за их пределы. Поведение хаотично, без каких либо тенденций. Поведение хаотично, без каких либо тенденций.

Это фракталы, при построении которых в итеративной системе случайным образом изменяются какие-либо параметры. Эти фракталы используются при моделировании рельефов местности и поверхности морей, процесса электролиза. Стохастические фракталы очень похожи на природные объекты – несимметричные деревья, изрезанные береговые линии.

Заключение: 1. Проанализирована и проработана литература по теме исследования. 2. Рассмотрены и изучены различные виды фракталов. 3. Представлена классификация фракталов.

Фоменко А. Т. Наглядная геометрия и топология. М.: изд-во МГУ, Фоменко А. Т. Наглядная геометрия и топология. М.: изд-во МГУ, Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. – М.: «Институт компьютерных исследований», Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. – М.: «Институт компьютерных исследований», 2002.