Системы счисления. Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Представление чисел Для записи информации о количестве объектов используются числа. Числа записываются с использование особых знаковых систем, которые называют системами счисления. Система счисления – совокупность приемов и правил записи чисел с помощью определенного набора символов.

Единичная система счёта 3510

Система нумерации В языке некоторого туземского племени было всего два числительных: один – урапун, два – окоза В языке некоторого туземского племени было всего два числительных: один – урапун, два – окоза Как назвать числа 3, 4, 5? Как назвать числа 3, 4, 5? –3 – окоза-урапун –4 – окоза-окоза –5 –- окоза-окоза-урапун Начиная с семи, числа имели одно обозначение – много Начиная с семи, числа имели одно обозначение – много

Система нумерации Древнего Египта = 359

Позиционные и непозиционные системы счисления Все системы счисления делятся на две большие группы: ПОЗИЦИОННЫЕНЕПОЗИЦИОННЫЕ Количественное значение каждой цифры числа зависит от того, в каком месте (позиции или разряде) записана та или иная цифра. 0, Количественное значение цифры числа не зависит от того, в каком месте (позиции или разряде) записана та или иная цифра. XIX

Римская система нумерации Алфавит системы I – единица V – пять X – десять L – пятьдесят C – сто D – пятьсот M - тысяча MMDCCCLXXVI MCMXCIV = 2876 = 1994

Римская непозиционная система счисления В качестве цифр используются: В качестве цифр используются: I V X L C D M I V X L C D M Величина числа определяется как сумма или разность цифр в числе. MCMXCVIII = 1000+( )+(100-10) = 1998

Славянская система нумерации (алфавитная) = 341

Индийские цифры – случайны ли они?

Позиционные системы счисления Первая позиционная система счисления была придумана еще в Древнем Вавилоне, причем вавилонская нумерация была шестидесятеричная, т.е. в ней использовалось шестьдесят цифр! В XIX веке довольно широкое распространение получила двенадцатеричная система счисления. В настоящее время наиболее распространены десятичная, двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления.

Основание системы счисления Количество различных символов, используемых для изображения числа в позиционных системах счисления Система счисления Основание Алфавит цифр Десятичная10 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Двоичная2 0, 1 Восьмеричная8 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Шестнадцатерич ная 16 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

Десятичная позиционная система счисления Как называются эти цифры? Арабские? Да, но это исторически несправедливое название, потому что появились они в Индии – еще в V веке О С Н О В А Н И Е

Анатомическое происхождение системы

Пятеричная система счисления КитайАфрика

Двадцатеричная система 20 Майя и Ацтеки (Центральная Америка) Кельты (Западная Европа) 1 франк = 20 су

12-ричная система счисления 12 1 шиллинг = 12 пенсам 1 фут = 12 дюймам

60-ричная система счисления (Вавилонская) – 1 – 10 = 59 = 747 основание = * минут 60 секунд

16-ричная система Основание р = 16 Алфавит: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, Что означают числа: 10 16, 20 16, 25 16, 5A 16, , ? = ? AB 16 = ? A, B, C, D, E, F 10, 11, 12, 13, 14, = = 171

Восьмеричная система Основание р = 8 Основание р = 8 Алфавит: 0,1,2,3,4,5,6,7 Алфавит: 0,1,2,3,4,5,6,7 Что означают числа: 10 8, 20 8, 25 8, 52 8, 100 8, ? Что означают числа: 10 8, 20 8, 25 8, 52 8, 100 8, ? = ? = ? 43 8 = ? 43 8 = ? = = 35

В общем виде: p-ричная система счисления p – основание K = a n p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p 1 +a 0 = a n a n-1 …a 1 a 0 В р-ричной системе счисления р цифр Рассмотрим подробнее системы с основаниями р = 2, 60, 8, 16

Развернутая запись числа = 6* * * * * ,11 2 = 1* * * * * ,32 8 = 6* * * * * ,32 16 = 6* * * * *16 -2

Перевод чисел из одной позиционной системы в другую = 1* * *2 3 +1* * *2 0 = = FC 16 =1* * * *16 0 = =

Перевод чисел из одной позиционной системы в другую = 1* * * * *2 -2 =4+1 + ½ + ¼ = = 6* * *8 -1 = 6*8 + 7*1 + 5*1/8 =

Перевод чисел из одной позиционной системы в другую = 1* * * *9 0 = = = 1* *3 1 +2*3 0 = 9+0+2=11 10

Двоичная система счисления Основание р=2 Алфавит системы: 0, 1 Как записать остальные числа? 0 – 0 1 – 1 2 – 10 3 – 11 4 – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – 11111

Перевод чисел из десятичной системы счисления в двоичную 135 : 2 = 67(остаток 1) 67 : 2 = 33 (остаток 1) 33 : 2 = 16 (остаток 1) 16 : 2 = 8 (остаток 0) 8 : 2 = 4 (остаток 0) 4 : 2 = 2 (остаток 0) 2 : 2 = 1 (остаток 0) 1 : 2 = 0 (остаток 1) = = 2

Перевод чисел из десятичной системы счисления в двоичную 135 : 5 = 27(остаток 0) 27 : 5 = 5 (остаток 2) 5 : 5 = 1 (остаток 0) 1 : 5 = 0 (остаток 1) = 5

Перевод нецелых чисел из десятичной системы счисления в N-ую 25 : 2 = 12(остаток 1) 12 : 2 = 6 (остаток 0) 6 : 2 = 3 (остаток 0) 3 : 2 = 1 (остаток 1) 1 : 2 = 0 (остаток 1) 0,76 * 2 = 1,52 ( целая часть 1) 0,52 * 2 = 1,04 ( целая часть 1) 0,04 * 2 = 0,08 ( целая часть 0) 25,76 10 = 2 25,76 10 = 11001,11 2

Упражнения Перевести в десятичную систему счисления: Перевести в десятичную систему счисления: F F Перевести в двоичную систему счисления: Перевести в двоичную систему счисления: Перевести в восьмеричную систему счисления Перевести в восьмеричную систему счисления = 0*30+2*31+1*32 = 1510 = F* * * *163 = = 1*20+0*21+0*22+1*23+1*24+1*25=5710 = = = 1478 = 1038