Проект ученика 7 класса Проект ученика 7 класса МОУ Бичурга-Баишевской СОШ Петрова Александра Руководитель Петрова Галина Александровна

На олимпиадах по математике, в международной игре «Кенгуру» есть задачи, которые я затрудняюсь решать. Чтобы их решить, нужно знать какие-то методы. В этом году я нашёл три метода: это табличный метод, метод графов и метод диаграмм Эйлера-Венна. Поставил задачу - научиться применять эти методы в логических задачах.

Немного о истории метода Эйлера-Венна Немного о истории метода Эйлера-Венна В математике рисунки в виде кругов, изображающих множества, используются очень давно. Одним из первых, кто пользовался этим методом, был выдающийся немецкий математик и философ Готфрид Вильгельм Лейбниц ( ). В его черновых набросках были обнаружены рисунки с такими кругами. Затем этот метод довольно основательно развил швейцарский математик Леонард Эйлер ( ). Он долгие годы работал в Петербуржской Академии наук. К этому времени относятся его знаменитые "Письма к немецкой принцессе", написанные в период с 1761 по 1768 год. В некоторых из этих "Писем..." Эйлер как раз и рассказывает о своем методе. После Эйлера этот же метод разрабатывал чешский математик Бернард Больцано ( ). Только в отличии от Эйлера он рисовал не круговые, а прямоугольные схемы. Методом кругов Эйлера пользовался и немецкий математик Эрнест Шредер ( ). Этот метод широко используется в книге "Алгебра логики". Но наибольшего расцвета графические методы достигли в сочинениях английского логика Джона Венна ( ). С наибольшей полнотой этот метод изложен им в книге "Символическая логика", изданной в Лондоне в 1881 году. В честь Венна вместо кругов Эйлера соответствующие рисунки называют иногда диаграммами Венна; в некоторых книгах их называют также диаграммами (или кругами) Эйлера-Венна.

Метод диаграмм Эйлера-Венна Диаграммы Эйлера-Венна могу быть построены по-разному. Рассмотрим три простейших случая. а) Дано некоторое множество и указано свойство Х. Очевидно, элементы данного множества могут обладать или не обладать свойством Х. Поэтому данное множество распадается на две части: А - множество элементов, обладающих свойством Х;В - множество элементов, не обладающих свойством Х. б) Дано некоторое множество и указаны два свойства: Х и У. Так как элементы данного множества могут обладать или не обладать каждым из этих свойств, то возможны четыре случая: А - элементы обладают Х и У; В - элементы обладают Х и не обладают У; С - элементы не обладают Х и не обладают У; D - элементы не обладают Х и обладают У. с) Дано некоторое множество и указаны три свойства: А, В и С. В этом случае данное множество распадается на восемь частей. Если будет указано пять свойств, то множество распадется на 32 части, диаграммы станут еще более сложными. Итак, с увеличением свойств число частей каждый раз увеличивается. Некоторые части могут оказаться пустыми: в них не попадет ни один элемент множества.

В А Х У ХУХУ

В классе 36 человек. 18 человек посещают математический кружок М, 14 физический Ф, 10 химический Х, 2 человека посещают все три кружка МФХ, 8 МФ, 5 МХ, 3 ФХ. Сколько учеников класса не посещают никаких кружков?

В классе 36 человек 18 человек посещают математический кружок (М) МФ Х 14 – физический (Ф) 10 – химический (Х) 2 человека посещают все три кружка МФХ МФ МХ ФХ 1 Сколько учеников класса не посещают никаких кружков? М = 18-(2+6+3)=7 7 Ф = 14-(2+6+1)=5 5 Х = 10-(2+3+1)= =28 36 – 28=8 8 Ответ : 8 учеников не посещают никакие кружки

В классе 17 учеников изучают английский, 18 учеников изучают немецкий, 8 учеников изучают и английский, и немецкий. Сколько учеников в классе? В садике 52 ребенка, каждый из них любит или пирожное, или мороженое, или то и другое. Только пирожное любят 20 детей, и пирожное и мороженое 20 детей. Сколько детей любят только мороженое?

Слово «граф» в математической литературе появилось совсем недавно. Понятие графа используется не только в математике, но и в технике и даже в повседневной жизни под разными названиями – схема, диаграмма. Особенно большую помощь графы оказывают при решении логических задач. Представляя изучаемые объекты в наглядной форме, «графы» помогают держать в памяти многочисленные факты, содержащиеся в условии задачи, устанавливать связь между ними. Графом называется любое множество точек, некоторые из которых соединены линиями или стрелками. Точки, изображающие элементы множества, называют вершинами графа, соединяющие их отрезки – рёбрами графа.

Рассмотрим этот метод на примере Задачи. На соревнованиях по легкой атлетике Андрей, Боря, Сережа и Володя заняли первые четыре места. Но когда девочки стали вспоминать, как эти места распределились между победителями, то мнения разошлись: Даша: Андрей был первым, а Володя – вторым Галя: Андрей был вторым, а Борис – третьим Лена: Боря был четвертым, а Сережа вторым Ася: каждая девочка сделало одно правильное и одно неправильное заявление

На соревнованиях по легкой атлетике Андрей, Боря, Сережа и Володя Но когда девочки стали вспоминать, как эти места распределились между победителями, то мнения разошлись: А БС В заняли первые четыре места. Галя: Андрей был вторым, а Борис - третьим Лена: Боря был четвертым, а Сережа вторым Даша: Андрей был первым, а Володя - вторым Ася: каждая девочка сделало одно правильное и одно неправильное заявление

Оставим по одной линии каждого типа АБС В Предположим В-2 верно, значит неверно другое ее предположение А-1 Предположение Даши В-2 – неверно, значит верно А1 Удалим А-2, значит Б-3 – истинно (предположения Гали) Это невозможно, т.к. Борис не мог одновременно занять третье и четвертое место А-2 и С-2 неверны, т.к. только кто-то один может занять второе место Удалим Б-4 Ответ 1 место - Андрей 2 место - Сергей3 место - Борис4 место - Володя

Однажды Андрей, Борис, Володя, Даша и Галя договорились вечером пойти в кино. Выбор кинотеатра и сеанс они решили согласовать по телефону. Было также решено, что если с кем- то созвониться не удастся, то поход в кино отменяется. На следующий день стали выяснять, кто кому звонил. Оказалось, что Андрей звонил Борису и Володе, Володя звонил Борису и Даше, Даша звонила Андрею и Володе, а Галя звонила Андрею, Володе и Борису. Решение :Нарисуем пять точек и обозначим их буквами А, Б, В, Г, Д. Это первые буквы имен ребят. Затем соединим те точки, которые соответствуют именам созвонившихся ребят. Например: Андрей созвонился с Борисом и Володей, поэтому проведем отрезки АБ и АВ. После того как нарисуем все отрезки, получим следующую диаграмму. Из рисунка видно, что каждый из трех ребят - Андрей, Борис и Володя - созвонился со всеми остальными. Поэтому эти ребята и пришли к кинотеатру. А Галя и Даша не сумели созвониться между собой (точки Г и Д не соединены отрезками) и поэтому в соответствии с договоренностью в кинотеатр не пришли.

Красный, синий, желтый и зеленый карандаши лежат в четырех коробках по одному. Цвет карандаша отличается от цвета коробки. Известно, что зеленый карандаш лежит в синей коробке, а красный не лежит в желтой. В какой коробке лежит каждый карандаш? Беседуют трое друзей: Белокуров, Чернов и Рыжов. Брюнет сказал Белокурову: «Любопытно, что один из нас белокурый, другой брюнет, третий рыжий, но ни у кого цвет волос не соответствует фамилии». Какой цвет волос имеет каждый из друзей?

Обычно этим методом решаются задачи, отвечающие на вопрос "кто есть кто". Строим таблицу: строки этой таблицы озаглавим элементами одного множества, а столбцы – элементами другого множества, и будем заполнять ячейки таблицы по правилам: если "да", то ставим «+» если "нет", то ставим «-»

Задача За столом сидят Алёша, Юра, Коля, Витя, Толя. Кто-то из них москвич, кто-то санкт-петербуржец, кто-то томич, кто-то новгородец, кто-то пермяк. Мне надо узнать кто из них кто. Решим эту задачу табличным методом.

ГородаИмена ЮраТоляАлешаКоляВитя Москва Санкт- Петер. Новгоро д Пермь Томск Москвич сидел между томичем и Витей Санкт-петербуржец – между Юрой и Толей Напротив него сидели пермяк и Алеша Коля никогда не был в Санкт-Петербурге Юра не бывал в Москве и Томске Томич с Толей регулярно переписываются.

1.)В авиационном подразделении служат Потапов, Щедрин, Семенов, Коновалов и Самойлов. Их специальности (они перечислены не в том же порядке, что и фамилии): пилот, штурман, бортмеханик, радист и синоптик. Об этих людях известно следующее: 1. Щедрин и Коновалов не умеют управлять самолетом. 2. Потапов и Коновалов готовятся стать штурманами.математика для школьников, олимпиада по математике для школьников 3. Щедрин и Самойлов живут в одном доме с радистом.математика для школьников, олимпиада по математике для школьников 4. Семенов был в доме отдыха вместе со Щедриным и сыном синоптика. 5. Потапов и Щедрин в свободное время любят играть в шахматы с бортмехаником. 6. Коновалов, Семенов и синоптик увлекаются боксом.математика для школьников, олимпиада по математике для школьников 7. Радист боксом не увлекается.математика для школьников, олимпиада по математике для школьников, логические задачи

2) Поездная бригада состоит из бригадира, проводника, машиниста и помощника. Их зовут Андрей, Петр, Дмитрий и Николай. Дмитрий старше Андрея. У бригадира нет родственников в бригаде. Машинист и помощник - братья. Других братьев у них нет. Дмитрий - племянник Петра. Помощник - не дядя проводника, а проводник - не дядя машиниста. Кто кем работает?

В группе строителей было пять человек: Андреев, Борисов, Иванов, Петров и Сидоров. Профессии у них были разные: один из них - маляр другой - плотник третий - штукатур четвертый - каменщик пятый - электрик Они рассказали о себе следующее. Петров и Иванов никогда не держали в руках малярной кисти. Петров и Борисов живут в одном доме со штукатуром. Андрее и Петров подарили электрику красивую вазу. Борисов и Петров помогали плотнику строить гараж. Борисов и Сидоров по субботам встречаются у электрика, а штукатур по воскресеньям приходит в гости к Андрееву.

«СТАРШЕКЛАССНИКИ» Птичкин, Озеров, Травкин и Солнцев - четыре особо одаренных старшеклассника. Один из них скрипач, другой - художник, третий - певец, а четвертый - поэт. О них известно следующее: 1. Птичкин и Травкин сидели в зале консерватории в тот вечер, когда певец выступал в сольном концерте в школе. 2. Озеров и поэт вместе позировали художнику. 3. Поэт написал стихотворение о Солнцеве и собирается написать оду о Птичкине. 4. Птичкин никогда не слышал о Травкине. Кто чем занимается?

"ВСТРЕЧА НА СИМПОЗИУМЕ" На одном международном медицинском симпозиуме встретились 4 представителя из разных стран. Каждый из них владел двумя языками из четырех (испанский, английский, немецкий, греческий). Однако, оказалось, что не было такого языка, на котором они могли разговаривать вчетвером. И был только один язык, на котором могли вести беседу трое из них. Никто из делегатов не владел английским и греческими языками одновременно. Хотя хирург не говорит по - испански, он может служить переводчиком, если терапевт и окулист захотят поговорить друг с другом. Окулист говорит по - гречески и может говорить с невропатологом, хотя тот и не знает ни одного греческого слова. Хирург, терапевт и невропатолог не могут беседовать втроем на одном языке. Какими двумя языками владеет каждый из них?

Использованная литература. Интернет. Математика 5 класс. Н.Я. Виленкин. Энциклопедия юного математика. Математика на досуге.