Алгебра 8 класс Теорема Виета

Основная цель – изучить теорему Виета и ей обратную, уметь применять при решении квадратных уравнений «Вся математика – это, собственно, одно большое уравнение для других наук» Новалис Девиз урока:

Устная работа 1.x² + 4 x - 6 = x² + 6 x = x² - 14 x = 0 4.x² + 5 x - 1 = x² - 5 x + 19 = 0 6.x² - 13 x = 0

Исследуем связь между корнями и коэффициентами квадратного уравнения Уравнениеpqxxx + xx 1x² + 5x + 6 = 0 2x² - 5x + 6 = 0 3x² - 7x + 6 = 0 4x² + 7x + 6 = 0 5x² - 8x + 6 = 0 6x² - x - 6 =

ФРАНСУА ВИЕТ (Вьета) Знаменитая теорема, устанавливающая связь коэффициентов многочлена с его корнями, была обнародована в 1591 г. Теперь она носит имя Виета

Дано: х и х - корни уравнения Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. Доказать:

План доказательства: 1.Записать формулы для нахождения x и x ; 2.Найти сумму корней: x + x ; 3.Найти произведение корней: x · x.

Доказательство: х ² + pх + q = 0 1. х =, х = = == -p 3. x x = == =, D = p² -4q. === q 2. x+x =+ =

1.Определите, верно ли сформулирована теорема: Сумма корней квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену 2. Для всех ли приведенных уравнений x + x = -p x · x = q 3. Сформулируйте теорему со словами «Если…, то…»

Что позволяет находить доказанная теорема? Что должно быть известно до применения теоремы?

Можно ли найти сумму и произведение корней следующих уравнений 1. х² + 3х + 6 = 0 2. х² + 5 = х² – 7х + 5 = 0

x² + px + q = 0 x² - (х + х )х + х х = 0 Задание 1. Выберите уравнение сумма корней которого равна -6, а произведение равно -11 1) х² - 6х + 11 = 0 2) х² + 6х - 11 = 0 3) х² + 6х + 11 = 0 4) х² - 11х - 6 = 0 5) х² + 11х - 6 = 0

Задание 2. Если х = -5 и х = -1 - корни уравнения х² + px +q = 0, то 1) p = -6, q = -5 2) p = 5, q = 6 3) p = 6, q = 5 4) p = -5, q = -6 5) p = 5, q = -6 6) p = -6, q = -5

Задание 3. Найдите сумму и произведение корней уравнения х² - 3х - 5 = 0. Выберите правильный ответ. 1)х + х = -3, х х = -5 2)х + х = -5, х х = -3 3)х + х = 3, х х = -5 4)х + х = 5, х х = -3

Найти сумму и произведение корней уравнения Решение: б) y² – 19 =0, D > 0 p = 0, q = - 19 х + х = 0, х х = -19 д) 2x² – 9x – 10 = 0 х² – 4,5х – 2 = 0, D > 0 p = - 4,5, q = - 2 х + х = 4,5, х х = а) в) у доски г) д) самостоятельно с последующей проверкой :2

Для каждого уравнения укажите, если это возможно сумму и произведение корней 1.х² – 2х – 8 = 0 Для каждого уравнения попытайтесь подобрать два числа х и х так, чтобы выполнялись получившиеся равенства. 2. х² + 7х + 12 = 0 3. y² – 8y – 9 = 0 D > 0, p = -2, q = -8 x + x = 2 x x = -8 D > 0, p = 7, q = 12 x + x = -7 x x = 12 D > 0, p = -8, q = -9 y + y = 8 y y = -9 x = -2 x = 4 2 (-4) (-8) -1 8 Проверьте, будут ли полученные числа корнями данного уравнения x = -3 x = -4 y = -1 y = 9

Прямая теорема: Если х и х - корни уравнения х² + px + q = 0. Тогда числа х, х и p, q связаны равенствами Обратная теорема: Тогда х и х - корни уравнения х² + px + q = 0. Числа х и х являются корнями приведенного квадратного уравнения х² + px +q = 0 тогда и только тогда, когда x +х = - p, x x = q

Применение теоремы Проверяем, правильно ли найдены корни уравнения Определяем знаки корней уравнения не решая его Устно находим корни приведенного квадратного уравнения Составляем квадратное уравнение с заданными корнями

Теорема Виета Числа х и х являются корнями квадратного уравнения х² + вх + с =0 тогда и только тогда, когда х + х = х х = По праву достойна в стихах быть воспета О свойствах корней теорема Виета. Что лучше, скажи, постоянства такого: Умножишь ты корни и дробь уж готова? В числителе с, в знаменателе а А сумма корней тоже дроби равна. Хоть с минусом дробь, что за беда! В числителе в, в знаменателе а.

Домашнее задание: п. 23 (знать теорему Виета), дифференцированное задание (листок с домашней работой)