Элементы комбинаторики, теории вероятностей и статистики Докладчик Кулабухов С. Ю. По-видимому невозможно дать точное определение того, что подразумевается под словом «случайный». Смысл этого слова лучше всего разъяснить на примерах. Гаральд Крамер

Основные правила комбинаторики 2 Правило суммы. Если некоторый объект А может быть выбран из множества объектов m способами, а другой объект В может быть выбран n способами, то выбрать либо А, либо В можно m + n способами. Правило произведения. Если некоторый объект А может быть выбран из множества объектов m способами и после каждого такого выбора объект В можно выбрать n способами, то пара объектов (А, В) в указанном порядке можно выбрать mn способами.

1. Сочетания без повторений Определение 1.1. Число всех выборов k элементов из n данных элементов без учета их порядка называют числом сочетаний из n элементов по k. Определение 1.2. Сочетанием из n элементов n-элементного множества по k элементов называется всякое k-элементное подмножество этого множества. Определение 1.3. Числом сочетаний из n элементов по k называется количество строго монотонных функций из k-элементного множества в n-элементное. Функция, действующая на упорядоченных множествах называется строго монотонной, если выполняется условие: Определение 1.4. Число размещений k неразличимых предметов по n ящикам, не более, чем по одному в ящик, то есть число способов выбрать из n ящиков k ящиков с предметами, называется числом сочетаний (без повторений). 3

2. Размещения без повторений Определение 2.1. Число всех выборов k элементов из n данных элементов с учетом их порядка называют числом размещений из n элементов по k. Определение 2.2. Размещением из n элементов n-элементного множества по k элементов называется всякая последовательность длины k, составленная из неповторяющихся элементов этого множества. Определение 2.3. Числом размещений из n элементов по k называется количество инъективных функций из k-элементного множества в n-элементное. Определение 2.4. Число всех возможных способов разместить k предметов по n ящикам, не более чем по одному в ящик, называется числом размещений (без повторений). 4

3. Перестановки Определение 3.1. Число различных способов упорядочить n различных элементов называют числом перестановок n элементов. Определение 3.2. Перестановкой из n элементов n-элементного множества называется всякое размещение этого множества по n элементов. Определение 3.3. Числом перестановок из n элементов называется количество преобразований n-элементного множества. Преобразование – это биекция множества на себя. Определение 3.4. Аналогично определению

4. Размещения с повторениями Определение 4.2. Число всех последовательностей длины k, составленных из элементов n-элементного множества называется числом размещений (с повто- рениями) из n по k. Определение 4.3. Число всевозможных функций из k-элементного множества в n-элементное называется числом размещений (с повторениями) из n по k. Определение 4.4. Число всех возможных способов разместить k предметов по n ящикам называется числом размещений (с повторениями) из n по k. Определение 4.1. Аналогично определению

5. Сочетания с повторениями Определение 5.2. Нет. Определение 5.3. Число монотонных функций из k-элементного множества в n- элементное называется числом сочетаний (с повторениями) из n по k. Определение 5.4. Число всех возможных способов разместить k неразличимых предметов по n ящикам называется числом сочетаний (с повторениями) из n по k. Функция, заданная на упорядоченных множествах называется монотонной, если выполняется условие: Определение 5.1. Пусть имеются предметы n видов и из них составляется набор, содержащий k элементов. Два таких набора считаются одинаковыми, если они имеют одинаковый состав. Такие наборы называются сочетаниями (с повторе- ниями) из n по k. 7

Задачи на классическое определение вероятности 1. На 5 одинаковых карточках написаны буквы Л, М, О, О, Т. Эти карточки наудачу разложены в ряд. Какова вероятность того, что получится слово МОЛОТ? Ответ: 1/ В ящике 4 голубых и 5 красных шаров. Из ящика наугад вынимают 2 шара. Найдите вероятность того, что они разного цвета. Ответ: 5/9. 3. В бригаде 4 женщины и 3 мужчины. Среди членов бригады разыгрываются 4 билета в театр. Какова вероятность того, что среди обладателей билетов окажется 2 женщины и 2 мужчины? Ответ: 18/ Найдите вероятность выиграть в лотерею 6 из 49, то есть вероятность угадать не менее 3 выигрышных билетов. (Ответ округлите до тысячных). Ответ: 0,019.

Задачи на классическое определение вероятности Ответ: 0,019. Решение задачи 4 -- количество всех способов выбрать 6 билетов из количество всех способов выбрать 5 выигрышных билетов и 1 «проигрышный» -- количество всех способов выбрать 4 выигрышных билетов и 2 «проигрышных» -- количество всех способов выбрать 3 выигрышных билетов и 3 «проигрышных» Искомая вероятность:

10 Вариант 8 Алгебра 9 класс. Тематические тесты для подготовки к ГИА-2012

11 Вариант 8 Алгебра 9 класс. Тематические тесты для подготовки к ГИА-2012 продолжение Ответы

Задачи по ТВМС из книги: Алгебра 9 класс. Подготовка к ГИА Учебно-тренировочные тесты 12 Вариант 1

Задачи по ТВМС из книги: Алгебра 9 класс. Подготовка к ГИА Учебно-тренировочные тесты 13 Вариант 7

Задачи по ТВМС из книги: Алгебра 9 класс. Подготовка к ГИА Учебно-тренировочные тесты 14 Вариант 13

Задачи по ТВМС из книги: Алгебра 9 класс. Подготовка к ГИА Учебно-тренировочные тесты 15 Вариант 16