«…Случайность главным образом зависит от нашего знания…» Якоб Бернулли Работу выполнила: Учитель математики МОУ-СОШ3 Города Маркса Абросимова Галина Евгеньевна

Пример. Сколько существует перестановок букв слова «конус», в которых буквы к, о, н стоят рядом? Решение. Дано 5 букв, из которых три буквы должны стоять рядом. Три буквы к, о, н могут стоять рядом одним из = 3! = 6 способов. Для каждого способа «склеивания» букв к, о, н получаем = 3! = 6 способов Перестановки букв, «склейка» у, с. Общее число различных перестановок букв слова «конус», в которых буквы к, о, н стоят рядом, равно 6 · 6 = 36 перестановок – анаграмм. Ответ: 36 анаграмм.

Пример. Подсчитать, сколько среди изображений букв А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, З, И, К найдется букв, имеющих: 1)вертикальную ось симметрии; 2) горизонтальную ось симметрии. Решение. 1) Буквы с вертикальной осью симметрии: А, Д, Ж – 3 буквы (не учитываем утолщение некоторых элементов букв А, Д справа). 2) Буквы с горизонтальной осью симметрии: В, Е, Ж, З, К – 5 букв. Ответ: 1) 3буквы, 2) 5 букв.

Пример. У жителей планеты ХО в алфавите три буквы: А, О, Х. Слова в языке состоят не более чем из трех букв (буква в слове может повторяться). Какое наибольшее количество слов может быть в словаре жителей этой планеты? Решение. Слова могут быть однобуквенные, двухбуквенные и трехбуквенные. Однобуквенные слова: А,О, Х – 3 слова. Двухбуквенные слова: АО, АХ, АА, ОО, ОА, ОХ, ХХ, ХА, ХО – 9 слов (3·3=9, выбор двух букв с повторениями). Трехбуквенные слова: 3·9=27 слов (выбор трех из трех с повторениями, выбор первой буквы – три способа; к каждой первой букве дописываем каждое из 9 возможных двухбуквенных слов). Таким образом, в словаре жителей планеты ХО может быть максимум = 39 слов. Ответ: 39 слов.

Пример 1. Все билеты для экзамена по литературе написаны на карточках двузначными числами. Петя случайным образом выбрал одну карточку. Охарактеризуйте как достоверные, невозможные или случайные следующие события: a) Событие А - на выбранной карточке оказалось простое число; b) Событие В – на карточке оказалось составное число; c) Событие С – на карточке оказалось число, не являющееся ни простым, ни составным; d) Событие Д – на карточке оказалось четное или нечетное число. Решение. События А и В случайные, так как они могут произойти, а могут и не произойти. Событие С невозможно: вспомните определение простого и составного числа. Событие Д достоверное, так как любое двузначное число или четно, или нечетно.

Вы открыли книгу на любой странице и прочитали первое попавшееся существительное. Оказалось, что: а) в написании выбранного слова есть гласная буква; б) в написании выбранного слова есть буква «о»; в) в написании выбранного слова нет гласных букв; г) в написании выбранного слова есть мягкий знак. Решение. а) Событие достоверное, так как в русском языке нет существительных, состоящих только из согласных букв. б)Событие случайное. в) Событие невозможное (см. пункт а)). г) Событие случайное.

Пример. Опишите, в чем состоит сумма следующих несовместных событий. «Родила царица в ночь, не то сына (событие А), не то дочь (событие В)…» Решение. Царица родила сына или дочь (А В). Ответ: 4 сложных события, являющиеся суммой двух несовместных событий.

Пример. На четырех карточках написаны буквы о, т, к, р. Карточки перевернули и перемешали. Затем открыли наугад последовательно одну за другой эти карточки и положили их в ряд. Какова вероятность того, что получится слово «крот»? Решение. Исходы - все возможные перестановки из четырех элементов (о, т, к, р); общее число исходов равно n = = 4! = 24. Событие А – «после открытия карточек получится слово «крот»» ; = 1 (только один вариант расположения букв – «крот»; =. Ответ:

Пример. Взяли четыре карточки. На первой написали букву о, на второй т, на третьей с, на четвертой п. Карточки перевернули и перемешали. Затем открыли наугад одну карточку за другой и положили рядом. Какова вероятность того, что в результате получилось слово «стоп» или слово «пост»? Решение. Исходы – все возможные перестановки из 4 букв; общее число исходов n = = 4! = 24. Событие А – «получилось слово «стоп» или «пост»; количество благоприятствующих исходов = 1(«стоп») + 1 («пост») = 2 (по правилу суммы взаимоисключающих исходов). Вероятность =. Ответ: 1/12.

Пример 1. Измерили длины слов (количество букв) в приведенном ниже отрывке из поэмы А.С.Пушкина «Медный всадник». Нужно построить гистограммы распределения кратностей и частот, выбрав интервалы 1-3, 4-6, 7- 9 для вариант выборки. «…Ужасен он в окрестной мгле! 6, 2, 1, 9, 4 Какая дума на челе! 5, 4, 2, 4 Какая сила в нем сокрыта, А в сем коне какой огонь! 5, 4, 1, 3, 7 Куда ты скачешь, гордый конь, 1, 1, 3, 4, 5, 5 И где опустишь ты копыта?...» 1, 3, 8, 2, 6

Справа от текста вместо слов построчно записан их длины. После подсчета составляем таблицу. Длина слова Всего 9 вариантов Кратность Сумма = 30 Для нужных гистограмм составляем таблицу с меньшим числом вариантов. Длины слов 1, 2 или 34, 5 или 6 7, 8 или 9Всего 3 варианта Кратность5+4+3= = =4Сумма = 30 Частоты (%)4046,6613,33Сумма 100%

Пример. При проверке 70 работ по русскому языку отмечали число орфографических ошибок, допущенных учащимися. Полученный ряд данных представили в виде таблицы частот: Каково наибольшее различие в числе допущенных ошибок? Какое число ошибок является типичным для данной группы учащихся? Укажите, какие статистические характеристики были использованы при ответе на поставленные вопросы. Решение. Наибольшее различие в числе ошибок: 6 – 0 = 6. Типичное число ошибок: 3(встречается 26 раз из 70). Использованы размах и мода. Ответ: 6; 3. Число ошибок Частота

Статистические исследования над большим количеством литературных текстов показали, что частоты появления той или иной буквы (или пробела между словами) стремятся при увеличении объема текста к некоторым определенным константам. Таблицы, в которых собраны буквы того или иного языка и соответствующие константы, называют частотными таблицами языка. У каждого автора есть своя частотная таблица использования букв, слов, специфических литературных оборотов и т.д. По этой частотной таблице можно определить автора примерно так же точно, как и по отпечаткам пальцев. Например, до сегодняшнего дня не утихают споры об авторстве «Тихого Дона». Довольно многие считают, что в 23 года М.А.Шолохов такую глубокую и поистине великую книгу написать просто не мог. Выдвигались разные аргументы и разные кандидаты в авторы. Особенно жаркими были споры в момент присуждения М.А.Шолохову Нобелевской премии в области литературы (1965г.). Статистический анализ романа и сличение его с текстами, в авторстве М.А.Шолохова которых не было сомнений, подтвердил все же гипотезу о М.А.Шолохове, как об истинном авторе «Тихого Дона».

Пример 1. Выборка состоит из всех букв, входящих в двустишие «…Это дерево – сосна, И судьба сосны ясна…» 1) Выпишите ряд данных выборки. 2) Найдите объем выборки. 3) Определите кратность и частоту варианты «о». 4) Какова наибольшая процентная частота вариант выборки? Решение 1). Ряд данных выборки (значения вариант ): а, б, в, д, е, и, н, о, р, с, т, у, ь, ы, э, я. 2). Объем выборки – это общее число букв в двустишии: n = 30. 3). Кратность варианты «о» равна 4, частота варианты равна. 4). Наибольшую процентную частоту имеет варианта «с»: ее кратность 6, частота, процентная частота 20%. Ответ: 1). 16 букв; 2). 30; 3). 4 и 0,133; 4). 20%.

Пример 1(продолжение). Выборка состоит из всех букв, входящих в двустишие «…Это дерево – сосна, И судьба сосны ясна…» Алфавит разбит по порядку на три одинаковых участка: 1 от «а» до «й», 2 от «к» до «у», 3 от «ф» до «я». 1).Найдите кратность и (процентную) частоту участка 3. 2).Составьте таблицу распределения частот участков. 3).Укажите участок наибольшей частоты. 4).Постройте гистограмму частот с выбранным распределением на участки. Решение. Прежде всего отметим, что если в русском алфавите 33 буквы, то три одинаковых участка – это участки по 11 букв. Число букв в двустишии: n = 30. Таблица распределения частот и кратностей: Участок 1 (а – й) 2 (к – у) 3 (ф – я) Частота букв10164 Кратность10/30=1/3=0,33316/30=8/15=0,5344/30=2/15=0,133 Частота (%)33,353,413,3

Ответ: 1). 13,3%; 2).таблица; 3). 2; 4). гистограмма.

Пример. 60 девятиклассников проверили на скорость чтения (количество слов за минуту чтения). Полученные данные сгруппировали по пяти участкам: 1- (91;100); 2 (101;110); 3 (111;120); 4 (121;130); 5 (131;140). Получилась такая гистограмма кратностей (смотри рисунок). Приблизительно оцените: размах, моду, среднее арифметическое выборки, объясните, почему ответы лишь приблизительные.

Размах А = = 49 Мода. Среднее значение. Полученные значения являются лишь приблизительными потому, что вместо действительных значений вариант при вычислениях использовались условные величины – границы и середины частичных интервалов, то есть величины, не наблюдавшиеся на опыте, а принятые нами для удобства представления данных. Ответ:49; 125,5; 117,17.

1. А.Г.Мордкович, П.В.Семенов. События. Вероятности. Статистическая обработка данных: Доп. Параграфы к курсу алгебры 7 – 9 кл. общеобразоват. учреждений / А.Г.Мордкович, П.В.Семенов. 4-е изд. – М.: Мнемозина, с. 2. Макарычев Ю.Н. Алгебра: элементы статистики и комбинаторики и теории вероятностей: учеб. Пособие для учащихся 7-9 кл. общеобразоват. учреждений / Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк; под ред. С. А.Теляковсого.- 2-е изд. – М.: Просвещение, с. 3. М.В.Ткачева, Н.Е.Федорова. Элементы статистики и вероятность: Учебное пособие для 7-9 классов общеобразоват. учреждений. – М.: Просвещение, с.