МБОУ «СОШ 6», Дорофеева Лилия Ильинична Алгебра и начала анализа 10 класс Восемь способов решения одного тригонометрического уравнения

Восемь способов решения одного тригонометрического уравнения. 1.Приведение уравнения к однородному. 2.Разложение левой части уравнения на множители. 3.Введение вспомогательного угла. 4.Преобразование разности (или суммы) тригонометрических функций в произведение. 5.Приведение к квадратному уравнению. 6.Возведение обеих частей уравнения в квадрат. 7.Универсальная подстановка. 8.Графическое решение. 2

Задача. Решите уравнение различными способами. 3 sin x – cos x = 1 ?

Способ первый. Приведение уравнения к однородному. 4 Это однородное уравнение первой степени. Делим обе части этого уравнения на т.к., если что противоречит тождеству Получим:,. sin x – cos x = 1

Способ второй. Разложение левой части уравнения на множители. 5 Далее так, как в первом способе.

Способ третий. Введение вспомогательного угла. 6 В левой части вынесем - корень квадратный из суммы квадратов коэффициентов при sin х и cos х. sin cos - cos sin = sin ( - )

Внимание! Эквивалентны ли результаты, полученные в рассмотренных способах решений данного уравнения sin x – cosx = 1? Покажем однозначность ответов. 7 1-й способ 2-й способ

Способ четвертый. Преобразование разности (или суммы) тригонометрических функций в произведение. 8 Запишем уравнение sin x – cosx = 1 в виде: Применим формулу разности двух синусов. Далее так, как в третьем способе.

Способ пятый. Приведение к квадратному уравнению относительно одной функции. 9 Возведем обе части уравнения в квадрат: или

Внимание! При решении уравнения обе части уравнения возводились в квадрат, что могло привести к появлению посторонних решений, поэтому необходима проверка. Сделаем проверку. 10 Полученные решения эквивалентны объединению трёх решений Первое и второе решение совпадают с ранее полученными, поэтому не являются посторонними. Проверять не будем. Проверим: Левая часть: а правая часть уравнения равна 1, следовательно это решение является посторонним.

Способ шестой. Возведение обеих частей уравнения в квадрат. sin x – cos x = 1 11 Ответ: x = n, n Z, или cos x =0 sin x = 0 x = n, n Z

Способ седьмой. Универсальная подстановка. Выражение всех функций через (универсальная подстановка) по формулам: 12 sin x –cosx = 1 Умножим обе части уравнения на

Внимание! Могли потерять корни.Необходима проверка! Область допустимых значений первоначального уравнения - всё множество R. При переходе к tg из рассмотрения выпали значения x, при которых tg не имеет смысла, т.е.x = + n, где n Z. Следует проверить, не является ли x = + n, где n Z решением данного уравнения. Левая часть sin(π - 2πk) – cos(π + 2πk) = sin π – cos π = 0 – (-1) = 1 и правая часть равна единице. Значит, x = + n,где n Z является решением данного уравнения. Ответ: : x= + n, n Z, x= + n, n Z. 13

Способ восьмой. Графический способ решения. На одном и том же чертеже построим графики функций, соответствующих левой и правой части уравнения. Абсциссы точек пересечения графиков являются решением данного уравнения, у = sin х - график синусоида. у = соs х + 1 – синусоида, смещённая на единицу вверх. 14 sin x = cos x + 1

Проверь себя ! Решите самостоятельно, применяя разные способы решения одного и того же тригонометрического уравнения: sin2x +cos2x = 1 15

sin 2x + cos2x = 1 2 sin x cos x + cos 2 x – sin 2 x = sin 2 x + cos 2 x, 2 sin x cos x – 2 sin 2 x = 0, 2 sin x ( cos x – sin x ) = 0, sin x = 0, cos x – sin x = 0, x = n, n Z, tg x = 1, Ответ: x = n, n Z, Способ: Приведение уравнения к однородному( 1-й способ ). 16

sin 2x + cos2x = 1 sin 2x + cos 2x = 1, sin2x – (1 – cos 2x ) = 0, 2 sin x cos x – 2 sin 2 x = 0, Далее так, как первым способом. Способ: разложение левой части уравнения на множители ( 2 – й способ ). 17

sin2x + cos2x =1 Способ: преобразование суммы тригонометрических функций в произведение ( 4-й способ). 18

sin 2x + cos2x = 1 разделим обе части уравнения на, Способ: введение вспомогательного угла (3-й способ). 19

sin 2x + cos2x = 1 возведём обе части уравнения в квадрат, тогда Способ: приведение к квадратному уравнению относительно ( 5-й способ). 20

sin 2x + cos2x = 1 sin 2x + cos2x = 1, sin 2 2x + 2sin 2x cos2x + cos 2 x = 1, 2sin 2x cos2x + 1 = 1, 2sin 2x cos2x = 0, sin 2x = 0, cos2x = 0, 2x = n, n Z ; 2x = + n, n Z, x =, n Z ; x = +, n Z. Ответ: x=, n Z; x = +, n Z. Способ : возведение обеих частей уравнения в квадрат ( 6 – й способ ). 21

sin2x + cos2x = 1 Способ: универсальная подстановка (7-й способ). 22 Ответ:

Оцени себя сам Реши уравнения: Ответы: 23 Номер уравнения Номер ответа Ключ к ответам:

Предлагаем уравнения для тренировки и самоконтроля 24 Желаем успеха!