Системысчисления

Система счисления Система счисления – это совокупность приёмов и правил для обозначения и именования чисел.

Непозиционные системы счисления

Непозиционная система счисления – это система счисления, в которой количественные значения символов, используемых в записи чисел, не зависят от их положения (места, позиции) в записи числа.

Единичная (унарная) система счисления Количество предметов отображали равным количеством каких – либо значков: зарубок, черточек, точек.

Система счисления Древнего Египта Числа составлялись из этих ключевых символов путем сложения:

Римская система счисления (Более 2,5 тыс. лет назад, Древний Рим) АЛФАВИТ: Для записи чисел используется сложение и вычитание ключевых чисел: Меньшее перед большим – его вычитают Меньшее после большего – его прибавляют IV = 5-1 XC = 90 XM = 990 IV = 4 XC = XM = VI = 5+1 VI = 6 CX = CX = 110 MX = 1010 MX =

Недостаток римской системы счисления Неоднозначность записи чисел ПРИМЕР 1995 MMCXCV= М V XXXXLCCCCD= МVМ= МDVD=

Международный стандарт римской системы счисления Любую цифру записывают не более трех раз подряд.Любую цифру записывают не более трех раз подряд. ЕДИНИЦЫДЕСЯТКИСОТНИТЫСЯЧИ 1 I 10 X 100 C 1000 M 2 II 20 XX 200 CC 2000 MM 3 III 30 XXX 300 CCC 3000 MMM 4 IV 40 XL 400 CD 5 V 50 L 500 D 6 VI 60 LX 600 DC 7 VII 70 LXX 700 DCC 8 VIII 80 LXXX 800 DCCC 9 IX 90 XC 900 CM 3999

Алфавитные системы счисления – системы счисления, в которых числа изображались буквами алфавита.

Древнегреческая система счисления ААльфа1IЙота10РРо100 ВБета2KkКаппа20Сигма200 ГГамма3Ламбда30ТТау300 Дельта4ММю40Y Ипсилон 400 ЕЭпсилон5NНю50ФФи Кси60ХХи600 ZДзета7OоOо Омикрон 70Пси700 НЭта8ППи80Омега800 Тета Буква Название Числовой эквивалент Числовой эквивалент Числовой эквивалент

Славянский цифровой алфавит ã Аз1IИ10Рцы100 ВВеди2KКако20ССлово200 ГГлаголь3Люди30ТТвердо300 Добро4М Мыслете 40 Ук 400 ЕЕсть5NНаш50ФФерт500 Зело6Кси60ХХер600 ZЗемля7O Он 70Пси700 ИИже8ППокой80Омега800 Фита9ЧЧервь90ЦЦы900 Буква Название Числовой эквивалент Числовой эквивалент Числовой эквивалент ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

Славянский цифровой алфавит Тысячи Десятки тысяч Сотни тысяч леорды Миллионы «леорды» вороны Дес. млн. «вороны» колоды Сотни млн. «колоды» ~ В= 2000 ã=1000 ~ =9000 ã В ~ ~ =10 000=20 000= ã В ~ = = ã В ~ = = ã = КВК ~ = ã = ~ Г =

Недостаток непозиционных систем счисления В них очень трудно выполнять арифметические операции

Позиционные системы счисления

Позиционная система счисления – это система счисления, в которой количественные значения символов, используемых в записи чисел, зависят от их положения (места, позиции) в записи числа.

Достоинства позиционных систем счисления Простота выполнения арифметических операций Ограниченное количество символов, необходимых для записи любых чисел

Вавилонская система счисления АЛФАВИТ: - единицы - десятки Числа от 1 до 59 записывались как в непозиционных системах счисления. =12 =45 =31

6·60+3=363 Основание системы счисления – ·60+52=1972 1·60·60+2·60+4=3724 2·60·60·60+2·60·60+2·60+2=439322

Недостаток вавилонской системы счисления Ни как не обозначалось отсутствие младших разрядов ПРИМЕР =3 =3·60=180 =3·60·60= …

Десятичная система счисления АЛФАВИТ: ПРИМЕР · · ·10 +3

Развитие десятичной системы счисления Начало позиционной записи было положено в Древнем Египте и Вавилоне. Дело в основном завершили индийские математики в V-VII веках н. э. Важное достижение индийской науки – введение особого обозначения для пропуска разрядов – нуля. Арабы по достоинству оценили индийскую систему счисления, усвоили её и перенесли в Европу. Получив название арабской эта система счисления в XII веке н. э. распространилась по всей Европе.

4 Интересный факт Некогда написание цифр было таким Каждая цифра обозначает число, соответствующее количеству углов в ней

Двенадцатеричная система счисления (Отголоски до первой трети XX века) 12 - дюжина 12 – удобное основание системы счисления, так как 12 имеет больше делителей (2,3,4,6), чем 10 (2,5) В XIX веке математики спорили о переходе на эту систему счисления Только возможность счета по пальцам рук склонила чашу весов в сторону числа 10

Рассмотрим примеры позиционных систем счисления с различными основаниями.

Двоичная система счисления АЛФАВИТ: 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1 000, 1 001, 1010, , 1 100, 1 101, 1 110, 1 111, , , , , , , , … … Ряд натуральных чисел:

210, 211, 212, 21, 22, 23, 21, 22, 23, Троичная система счисления АЛФАВИТ: 1, 2, 1, 21, 21, 21, 2 Ряд натуральных чисел: 10, 11, 12, 20, 21, 22, 100, 101, 102, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 110, 111, 112, 12, 13, 14, 12, 13, 14, 120, 121, 122, 15, 16, 17, 15, 16, 17, 200, 201, 202, 220, 221, 222, 18, 19, 20, 18, 19, 20, 24, 25, 26, 24, 25, 26, 1000, 1001, 1002, 27, 28, 29, 27, 28, 29, 1010, 1011, 1012, 30, 31, 32, 1020, 1021, 1022, 33, 34, 35, 1100, 1101, 1102, 36, 37, 38,...

Восьмеричная система счисления АЛФАВИТ: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37… 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, Ряд натуральных чисел: 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31…

Шестнадцатеричная система счисления АЛФАВИТ: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B B B B, C, D, E, F, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10,11,12,13,14,15, 10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,1A,1B,1C,1D,1E,1F, 16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28, 29,30,31 16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28, 29,30,31 Ряд натуральных чисел: 20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,2A,2B,2C,2D,2E,2F, 32,33,34,35,36,37,38,39,40,41,42,43,44, 45,46,47 32,33,34,35,36,37,38,39,40,41,42,43,44, 45,46,47...