Алгебра логики

Этапы развития логики 1-й этап связан с работами ученого и философа Аристотеля ( г.г. до н.э.). Он пытался найти ответ на вопрос «Как мы рассуждаем», изучал правила мышления. Аристотель впервые дал систематическое изложение логики. Он подверг анализу человеческое мышление, его формы – понятие, суждение, умозаключение. Так возникла формальная логика. 2-й этап – появление математической, или символической, логики. Основы ее заложил немецкий ученый и философ Г.В. Лейбниц ( ). Он сделал попытку построить первые логические исчисления, считал, что можно заменит простые рассуждения действиями со знаками, и привел соответствующие правила. Но он выдвинул только идею, а развил её окончательно англичанин Д. Буль ( ). Буль считается основоположником математической логики как самостоятельной дисциплины. В его работах логика обрела свой алфавит, свою орфографию и грамматику.

Опр.1 Логика – эта наука, изучающая законы и формы мышления; учение о способах рассуждений и доказательств. Опр.2 Понятие – это форма мышления, выделяющая существенные признаки предмета или класса предметов, позволяющих отличить их от других. Например: компьютер, трапеция, портфель, ураганный ветер. Опр.3 Суждение (высказывание, утверждение) – это форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается о свойствах реальных предметов и отношениях между ними. Высказывание может быть либо истинным, либо ложным, и может быть либо простым, либо составным (сложным). Например: Истинное и простое высказывание: Буква « т » - согласная. Ложное и сложное высказывание: Осень наступила, и грачи прилетели. Вопросительные и восклицательные предложения не являются высказываниями, так как в них ни чего не утверждается и не отрицается.

1.Все металлы – простые вещества. Литий – металл. Литий – простое вещество. 2.Все школьники – отличники. Вовочка – школьник. Вовочка – отличник. Опр.4 Умозаключение – это форма мышления, с помощью которой из одного или нескольких суждений может быть получено новое суждение. Посылками умозаключения по правилам формальной логики могут быть только истинные суждения. Тогда, если умозаключение проводится в соответствии с правилами формальной логики, то оно будет истинным. В противном случае можно прийти к ложному умозаключению. Например:

Опр.5 Алгебра логики (алгебра высказываний) – раздел математической логики, изучающий строение (форму, структуру) сложных логических высказываний и способы установления их истинности с помощью алгебраических методов. Высказывание (суждение) -повествовательное предложение, относительно которого можно сказать, истинно или ложно. В алгебре высказываний высказывания обозначаются именами логических переменных, которые могут принимать лишь два значения: «истинна» (1) и «ложь» (0). В алгебре высказываний над высказываниями можно производить логические операции, в результате которых получаются новые, составные (сложные) высказывания. Логическая операция – способ построения сложного высказывания из данных высказываний, при котором значение истинности сложного высказывания полностью определяется значениями истинности исходных высказываний.

Рассмотрим три базовых логических операций – инверсию, конъюнкцию, дизъюнкцию и дополнительные – импликацию и эквивалентность. Логическая операция Название Соответств ует союзу Обозначение знаками Таблица истинности Логическая операция Инверсия (от лат. inversion – переворачи-ваю) Отрицаниене А ¬ А Инверсия логической переменной истина, если переменная ложна, и, наоборот, инверсия ложна, если переменная истинна. А ¬ А 01 10

Логическая операция Название Соответств ует союзу Обозначение знаками Таблица истинности Логическая операция Конъюнкция (от лат. conjunction – связываю) Логическое умножение А и В А ^ В А & В Конъюнкция двух логических переменных истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания, истинны. АВА ^ В

Логическая операция Название Соответств ует союзу Обозначение знаками Таблица истинности Логическая операция Дизъюнкция (от лат. disjunction – различаю) Логическое сложение А или ВА ν В Дизъюнкция двух логических переменных ложна тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны. АВАνВАνВ

Логическая операция Название Соответств ует союзу Обозначение знаками Таблица истинности Логическая операция Импликация (от лат. implication – тесно связывать) Логическое следование Если А, то В; Когда А, тогда В А В А–условие В-следствие Импликация двух логических переменных ложна тогда и только тогда, когда из истинного основания следует ложное следствие. АВАВ

Логическая операция Название Соответствуе т союзу Обозначение знаками Таблица истинности Логическая операция Эквивалентность (от лат. equivalents - равноценность) Логическое равенство А тогда и только тогда, когда В А В Эквивалентность двух логических переменных истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания одновременно либо ложны, либо истинны АВА В

При вычислении значения логического выражения (формулы) логические операции вычисляются в определенном порядке, согласно их приоритету: инверсия, конъюнкция, дизъюнкция, импликация и эквивалентность. Операции одного приоритета выполняются слева направо. Для изменения порядка действий используются скобки.

Среди следующих высказываний укажите составные, выделите в них простые, обозначьте каждое из них буквой. Запишите с помощью логических операций каждое составное высказывание. Число 456 трехзначное и четное. Неверно, что Солнце движется вокруг Земли. Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9. Луна – спутник Земли. На уроке химии ученики выполняли лабораторную работу, и результаты исследований записывали в тетрадь. Если число оканчивается на 0, то оно делится на 10. Чтобы погода была солнечной, достаточно, чтобы не было ни ветра, ни дождя. Если у меня будет свободное время и не будет дождя, тоя не буду писать сочинения, а пойду на дискотеку. Без Вас хочу сказать Вам много При Вас я слушать Вас хочу. Если человек с детства и юности своей не давал нервам властвовать над собой, то они не привыкнут раздражаться и будут ему послушны.

Постройте отрицания следующих высказываний. На улице сухо. Сегодня выходной день. Ваня не был готов сегодня к урокам. Неверно, что число 3 не является делителем числа 198. Некоторые млекопитающие не живут на суше. Неверно, что число 17 – простое. Из каждых трех выберите пару высказываний, являющихся отрицаниями друг друга. «Луна – спутник Земли», «Неверно, что Луна спутник Земли», «Неверно, что Луна не является спутником Земли»; « », « »; «Прямая а перпендикулярна прямой с»; «Прямая а не параллельна прямой с»; «Прямая а не пересекается с прямой с».