Система счисления (СС) Системой счисления называется совокупность приемов обозначения чисел - язык, алфавитом которого являются символы (цифры), а синтаксисом - правило, позволяющее сформулировать запись чисел однозначно.

Непозиционные СС единичная (унарная) система счисления, может рассматриваться как вырожденный случай позиционной системы счисления:единичная (унарная) система счисления I I I I I I I – 7; запись числа римскими цифрами: XIX – 19, XXXI алфавит содержит неограниченное количество символов, причем количественный эквивалент любой цифры постоянен, и зависит только от ее начертания. Позиция цифр в числе значения не имеет.

Позиционные СС -системы счисления, алфавит которых содержит ограниченное количество символов, причем значение каждой цифры в числе определяется не только ее начертанием, но и находится в строгой зависимости от позиции в числе. Пример: 111 (10) = 1* * *10 0 = (10) = 1* * *10 0 = Основанием системы счисления называется количество различных символов (цифр), используемых в каждом из разрядов числа для его изображения в данной системе счисления.

Используемые системы счисления: 2 двоичная (в дискретной математике, информатике, программировании) 3 троичная система счисления 4 четверичная система счисления 8 восьмеричная (в программировании) 10 десятичная система счисления 12 двенадцатеричная (широко использовалась в древности, в некоторых частных областях используется и сейчас) 16 шестнадцатеричная (наиболее распространена в программировании, а также в шрифтах) 40 сорокаичная система счисления (применялась в древности: в частности, «сорок сороков» = 1600) 60 шестидесятеричная (измерение углов и, в частности, долготы и широты, измерение времени)

Десятичная СС Алфавит : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Числа: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, …, 99, 100, … Любое число в десятичной СС можно разложить на слагаемые (число в развёрнутой форме): 1023,4 = 1· · ·10 + 3·1 + 4/10 = = 1· · · · ·10 -1 = 1023,4

Двоичная СС Алфавит: 0, 1. Основание СС – 2 (10 2 =2 10 ) Числа: 0, 1, 10, 11, 100, 101, … Любое число в двоичной СС можно также разложить на слагаемые: (2) = 1·10000 (2) + 0·1000 (2) + 1·100 (2) + 0·10 (2) + 1·1 = 1· · · · ·2 0 = (2)

Восьмеричная СС Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Основание СС – 8 (10 8 =8 10 ) Числа: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12, …, 77, 100, …

Шестнадцатеричная СС Основание СС – 16 (10 16 =16 10 ) Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Числа: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, 10, 11, 12, …, 99, 9A, …, FE, FF, 100, …

Таблица соответствий систем счисления (10)(2)(16)(8) A B C D E F

Контрольные вопросы 1.Для каких целей человечество изобрело системы счисления? 2.Системы счисления бывают … 3.Мне лет… (во всех известных вам системах счисления) 4.Чему равно в десятичной системе счисления число 10 (2), 10 (8), 10 (16) ? 5.Разложить число в соответствующей СС на слагаемые: 120,4 (10) ; 301,2 (8) ; 1АВ,F (16) ; 103,2 (4); 10011,01 (2) …

Перевод чисел из одной системы счисления в другую (10) (2), (8), (16) (2) (10) (2) (8), (16) (8) (10), (2) (16) (10), (2)

Задачи. Перевести числа: 179, , , 203 АЕ, F0 (10) (2), (8), (16) (2) (10) (2) (8), (16) (8) (10), (2) (16) (10), (2)

Арифметические операции в двоичной системе счисления

Рекомендация при решении задач на системы счисления 1. Задачи на выполнение арифметических действий над числами, представленными в разных системах счисления Решение проводится в несколько этапов. Надо: а) выбрать наиболее удобную систему счисления; б) перевести в эту систему счисления все числа; в) выполнить заданные арифметические действия; г) перевести результат в нужную систему счисления.

Пример. Выполнить сложение. Результат записать в двоичной системе счисления. 2A Решение За основную выберем шестнадцатеричную систему счисления. Число 2A1 16 переводить не надо = 1B3 16 (проверьте сами). Число сначала переведем в двоичное по правилу 8 2. Получим число Теперь по правилу 16 2 сгруппируем в тетрады Получим шестнадцатеричное число 13Е 16. Теперь можно выполнить сложение 2A B Е 16 = Осталось перевести результат в двоичную систему счисления, для чего воспользуемся правилом Получим Ответ:

Упражнение 4 Выполнить сложения: , , , B17C 16 + E2AC 16 Все результаты представить в восьмеричной, десятичной и в шестнадцатеричной системах.

2. Задачи на нахождение основания системы счисления Обычно задача формулируется примерно так: "В какой системе счисления число Y будет представлено следующим образом *** " ? (вместо звездочек будут стоять некоторые цифры) Для решения подобной задачи сначала нужно обозначить основание системы счисления за X, потом написать сумму, в которой заданные цифры будут умножаться на соответствующие степени числа Х. Эту сумму следует приравнять числу Y, после чего решить уравнение относительно Х. Помните, что основанием системы счисления может быть только целое положительное число, большее 1. При этом каждая цифра в системе счисления с основанием Х не может быть больше X-1.

Пример. В какой системе счисления десятичное число 173 будет представлено как 445? Решение Обозначим неизвестное основание за Х. Запишем следующее уравнение: = 4*Х 2 + 4*Х 1 + 5*Х 0 С учетом того, что любое положительное число в нулевой степени равно 1 перепишем уравнение (основание 10 не будем указывать). 173 = 4*Х 2 + 4*Х + 5 Конечно, подобное квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта, но есть более простое решение. Вычтем из правой и левой части по 4. Получим 169 = 4*Х 2 + 4*Х + 1 или 13 2 = (2*Х+1) 2 Отсюда получаем 2*Х +1 = 13 (отрицательный корень отбрасываем). Или Х = 6. Ответ: = 445 6

Упражнение 5 В какой системе счисления десятичное число 33 будет представлено, как 113? В какой системе счисления десятичное число 67 будет представлено, как 124?

3. Задачи на нахождение нескольких оснований систем счисления Есть группа задач, в которых требуется перечислить (в порядке возрастания или убывания) все основания систем счисления, в которых представление данного числа заканчивается на заданную цифру. Эта задача решается довольно просто. Сначала нужно из исходного числа вычесть заданную цифру. Получившееся число и будет первым основанием системы счисления. А все другие основания могут быть только делителями этого числа. (Данное утверждение доказывается на основе правила перевода чисел из одной системы счисления в другую – см. п.4). Помните только, что основание системы счисления не может быть меньше заданной цифры!см. п.4

Пример. Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 24 оканчивается на 3. Решение 24 – 3 =21 – это первое основание (13 21 = 13* *21 0 = 24). 21 делится на 3 и на 7. Число 3 не подходит, т.к. в системе счисления с основанием 3 нет цифры 3. Ответ: 7, 21

Упражнение 6 Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 32 оканчивается на 4. Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 41 оканчивается на 5. Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 17 оканчивается на 2.