Тема 10. Упругие волны Общие определения

Вначале – о волнах вообще.

Пример поверхностной волны

Другие виды волновых процессов. Эффект домино

Виды волновых процессов (пусковая волна)

Можно видеть, как в пусковой волне перемещается точка начала движения – противоположно направлению движения автомобилей.

Распространение продольного волнового импульса по упругому стержню

Поперечные волны

Необходимыми условиями для возникновения волнового процесса являются: 1.Наличие связей между элементами среды распространения данного типа волн. 2.Сообщение одному из элементов среды достаточной первоначальной энергии. Волна – это процесс распространения возмущений в окружающей среде. (Возмущением называют кратковременной отклонение какого-либо параметра среды воздействием извне.)

x1x1 x2x2 x P t1t1 t2t2 часы t1t1 t2t2 0 Пусть в какой-то точке х в результате возмущения среды импульсным образом изменилось значение её некоторого параметра Р. Через некоторое время за счет волнового процесса импульс достигнет точки х 1, а затем и х 2.

x1x1 x2x2 x P t1t1 t2t2 t1t1 t2t2 v 0 Скорость волны:

- одиночная волна (импульс) - цуг волн Гармоническая волна: Форма волны v v v

Простейшая одномерная модель связанной системы

Модель поперечной волны

Модель продольной волны

волновой фронт волновые поверхности луч Сферическая волна Цилиндрическая волна Плоская волна Форма волновой поверхности определяет тип волны:

Сферическая волна Цилиндрическая волна Плоская волна Обратим внимание на то, что вся энергия, создаваемая волновым генератором, в случае плоской волны всё время проходит через поверхность одной и той же площади. Т.е. амплитуда волны в плоской волне не меняется, что не соблюдается в других типах волн. (Ниже, в §10.4 будет приведено строгое доказательство этого положения.) В этой связи плоская волна проще других в математическом описании, чем мы и воспользуемся при изучении характеристик упругих волн.

Тема 10. Упругие волны Плоская волна. Уравнение волны. Параметры волны

А - А х 0 х v ξ Пусть генератор поперечных колебаний, который располагается в начале координат, рождает волну, распространяющуюся в направлении оси Х. Процесс колебаний распространяется со скоростью волны V и через некоторое время τ начнётся в точке Х.

А х 0 х v ξ уравнение плоской волны волновое число длина волны

ξ t T = 2π /ω x = const Из уравнения следует, что в любой фиксированной точке Х происходят те же колебания, что и в начале координат, только с определённой начальной фазой, равной kx.

ξ х ξ t T = 2π /ω v x = const t = const Если теперь зафиксировать момент времени наблюдения, то получится своего рода мгновенная фотография колебаний (лучше всего представляется фотография поверхностной волны в бассейне с прозрачной стенкой). Вместе с тем, полученная картинка движется, бежит со скорость v. Поэтому записанное выше уравнение называют уравнением бегущей волны.

ξ х ξ t T = 2π /ω x2x2 x1x1 x 2 - x 1 = λ v x = const t = const Рассмотрим теперь расстояние (разность координат) между ближайшими точками, колеблющимися в одинаковой фазе: Это условие означает, что фазы колебаний в двух этих точках разнятся на 2π: Откуда следует, что расстояние между ближайшими точками, колеблющимися в одинаковой фазе равно длине волны:

ξ х ξ t T = 2π /ω x2x2 x1x1 x 2 - x 1 = λ v x = const t = const Изображение бегущей волны говорит о том, что со скоростью волны бежит её фаза. Поэтому: Фазовую скорость не следует путать со скоростью колеблющихся частиц в волне, которые в данном случае совершают поперечные колебания, т.е. перпендикулярно направлению фазовой скорости.

ξ х ξ t T = 2π /ω x2x2 x1x1 x 2 - x 1 = λ v x = const t = const - фазовая скорость Связь длины волны с фазовой скоростью и периодом колебаний частиц среды: - частота Связь основных параметров бегущей волны: длина волны

Тема 10. Упругие волны Энергия упругой волны. Вектор Умова

l 1 l 2 l 1 >l 2 ΔxΔx Объемная плотность энергии ξ х Рассмотрим энергию малого элемента массы Δ m тела, по которому идёт поперечная упругая волна ( Δ x

l1l1 l2l2 ΔxΔx Объемная плотность энергии ξ х Масса элемента определяется его объёмом и плотностью вещества: где u – скорость колеблющихся частиц: Объёмная плотность энергии:

Плотность потока энергии (вектор Умова) v vΔtvΔt ΔSΔS ΔV Введём понятие плотность потока энергии как энергию, переносимую в единицу времени через единичную поверхность: Рассмотрим энергию, которая переносится волной через площадку Δ S за время Δ t. где т.е.: Подставив значение объёма, получаем: Эта энергия заключается в объёме

v vΔtvΔt ΔSΔS U t - вектор Умова Плотность потока энергии имеет направление, которое, естественно, совпадает с направлением скорости волны (фазовой скорости): Среднее значение плотности потока энергии (среднего по времени модуля вектора Умова) определяется средним значением квадрата косинуса. По модулю: Если внимательно посмотреть на график, то можно видеть:

Тема 10. Упругие волны Поток энергии

α U S S n Потоком энергии называют энергию, переносимую в единицу времени через данную поверхность. Для плоской волны поток энергии через плоскую площадку определяется скалярным произведением вектора Умова на вектор площадки: Поле вектора Умова для плоской волны является однородным: в любой точке площадки он одинаков по величине и направлению:

S dS U Общий случай: произвольная поверхность, поле неоднородное α В этом случае сначала выбирается столь малый элемент поверхности, который можно считать плоским и на котором вектор Умова можно считать неизменным по величине и направлению: а затем полученные элементарные потоки энергии складываются по всей заданной поверхности, т.е. производится интегрирование:

Плоская волна Сферическая волна (точечный источник) U U r S

Тема 10. Упругие волны Интерференция встречных волн. Стоячие волны

ξ х 0 х Пусть две одинаковые по частоте и амплитуде волны встречаются в некоторой точке х : Результирующее смещение будет складываться из смещений, вызванных исходными волнами : Для сложения косинусов воспользуемся известным из тригонометрии преобразованием : В результате получим : т.е. колебания той же частоты, что и в исходных волнах, но с амплитудой, зависящей от координаты х : или :

2A 0 -2A 0 х пучности узлы ξ 0 Из последней формулы видно, что в определённых точках амплитуда максимальна и равна удвоенной исходной амплитуде. В таких точках находятся пучности. Таким образом, вместо двух бегущих волн в результате их интерференции получаются колебания с разными значениями амплитуды – стоячая волна. В других точках амплитуда равна нулю. Здесь находятся узлы. 1. Координаты пучностей ( А = 2А 0 )

2A 0 -2A 0 х пучности узлы ξ 2. Координаты узлов ξ х стоячая волна бегущая волна

Тема 10. Упругие волны Стоячие волны в замкнутом пространстве

х l l 0 В точке х = 0 п роисходит наложение волны, идущей слева Пусть вдоль оси х в ограниченном с двух сторон пространстве распространяется волна и волны, пришедшей справа после отражения от правой стенки: При сложении этих волн будут наблюдаться стоячие волны лишь при условии, что при встрече они будут находиться в одной фазе:

х l l 0 п=1 п=2 п=3 моды (типы волн) l х 0 Поскольку волновое число то условием для стоячих волн в замкнутом пространстве будет равенство расстояния между стенками целому числу полуволн:

Тема 10. Упругие волны Свободные колебания струны

n=1 – основная частота, основной тон n=2,3,4,.. – обертоны Образование стоячей волны в струне, закрепленной на обоих концах Частота:

Первые пять нормальных мод колебаний струны, закрепленной на обоих концах - основной тон - обертоны