Векторно-координатная линия в школьном курсе математики ТМОМ Общепедагогические основы обучения математике

План 1.Понятийный аппарат векторной линии 2.Цели изучения векторов в школе 3.Техническая схема векторно-координатной линии 4.Сущность векторного метода 5.Основа подхода к изучению векторов в учебниках различных авторов 6.Некоторые методические рекомендации

Причины введения темы «Векторы» в школьный курс математики потребности физики и возможности установления межпредметных связей; возможность установления внутрипредметных связей: –связи между угловыми и линейными величинами; –связь между алгеброй и геометрией, если векторы задаются координатами. возможность обогащения опыта решения задач через овладение новыми методами – векторным и координатным.

Трактовки понятия «вектор» Вектор – математическая абстракция для любых физических объектов, которые характеризуются величиной и направлением. Существуют разные подходы к определению понятия «вектор»: –как направленный отрезок; –как параллельный перенос; –как тензор; –как упорядоченная n-ка чисел.

Понятийный аппарат линии Понятия: Вектор Начало и конец вектора Модуль или длина вектора Нулевой вектор Одинаково и противоположно направленные векторы Равные векторы Коллинеарные векторы Компланарные векторы Координаты вектора Операции: Откладывание вектора от точки Сложение, вычитание и умножение вектора на число Скалярное произведение Преобразование векторных равенств Разложение вектора по координатам Отыскание длин отрезков и углов, связанных с векторами

Цель изучения векторно-координатной линии Познавательный аспект: Знакомство с понятием «вектор» и основами векторной алгебры в геометрической и координатной форме; Осознание учащимися на том или ином уровне векторного метода и идеи его применения и решению прикладных задач и задач геометрии.

Развивающий аспект: Развитие логичности и диалектичности мышления и мировоззрения. (Перенос известных отношений между математическими объектами и способами действий к объектам новой не числовой природы). Воспитательный аспект: Воспитание интереса к математике через ее применение к решению практических задач. Цель изучения векторно-координатной линии

Противоречия и недостатки Изучение векторов в математике начинается в 8 и 9 классе, а в физике действия с силами выполняются уже в 7 и 8 классах При традиционном разделении геометрии на планиметрию и стереометрию векторы изучаются дважды (на плоскости и в пространстве), при этом часть вопросов дублируется, следовательно, снижение интереса к теме. В настоящее время разрабатывается два проекта: 1.предполагает исключить векторы из 8 и 9 классов и изучать только в 10; 2.изучать векторы в основной школе, но сразу в пространстве.

Технологическая схема изучения векторов 1.Подготовительный этап – рассмотрение примеров физических величин, характеризующихся численными величинами и направлениями. 2.Введение геометрического изображения вектора, его элементов, терминов, обозначений. 3.Решение учебных задач на усвоение основных понятий. 4.Рассмотрение задач требующих операций над векторами. 5.Определение операций над векторами, введение алгоритмов и приемов выполнения операций над векторами.

6.Рассмотрение положения вектора на плоскости, разложение вектора по базисным векторам. 7.Определение координат вектора и операций над векторами в координатной форме. 8.Решение задач векторной алгебры и ее приложений. 9.Текущий контроль и коррекция усвоенного. 10.Рассмотрение приемов доказательства теорем и решения задач с помощью векторов. Технологическая схема изучения векторов

11. Выявление действий, связанных с применением теории к решению задач, в виде приема решения задач векторным методом. 12. Понятие о векторном методе, его применение в математике и ее приложениях. 13. Решение задач планиметрии векторным методом. 14. Контроль за усвоением векторного метода. 15. Обобщение простых понятий для пространства. 16. Обобщение операций над векторами для пространства. Технологическая схема изучения векторов

17. Решение задач алгебры в пространстве. 18. Обобщение векторного метода решения геометрических задач в пространстве. 19. Текущий контроль за усвоением. 20. Сравнение, систематизация и обобщение специальных методов геометрии: 1)элементарных геометрических методов; 2)алгебраического метода; 3)метода преобразований; 4)векторно-координатного метода. 21. Сравнение, систематизация и обобщение ситуации применения различных методов к решению геометрических задач. Технологическая схема изучения векторов

Суть векторного метода Геометрическое понятие переводится на векторный язык. Выполняются некоторые действия и преобразования на векторном языке на основе законов и свойств векторной алгебры. Полученные результаты переводятся на геометрический язык и осмысливаются в геометрических понятиях.

Схема действий при применении векторного метода 1.Перевод условия задачи или теоремы на векторный язык : 1)введение векторов, связанных с геометрическими фигурами; 2)выбор при необходимости системы координат и базисных векторов; 3)разложение всех введенных векторов по базисам. 2.Составление системы векторных равенств (равенства) или системы уравнений (уравнения) ; 3.Преобразование равенств или решение уравнений; 4.Объяснение геометрического смысла полученных решений.

Отношения, переводимые с геометрического языка на векторный Геометрический язык Точка М лежит на прямой АВ Точка М лежит на отрезке АВ Точка М лежит в плоскости АВ параллельна СД АВ перпендикулярна СД Векторный язык

Типы задач решаемых векторным путем Аффинные принадлежности точки прямой, лучу, отрезку или плоскости; установление параллельности прямых; установление перпендикулярности прямых; деление отрезка в заданном отношении. Метрические вычисление длин отрезков; вычисление величин углов; вычисление площадей и объемов фигур.

Подходы к введению понятия «вектор» в учебниках разных авторов В учебниках под редакцией А.Н.Колмогорова обучение происходит на основе математических преобразованиях и вектор изучали, как параллельный перенос. Координаты вектора изучались только в старшей школе.

В учебниках под редакцией Л.С. Атанасяна реализован тройственный подход в понимании «вектора»: –физические величины, характеризующиеся численным значением и направлением в пространстве, называют векторными величинами или вектором; –отрезок, для которого указано, какой из его концов является началом, а какой – концом, называют направленным отрезком или вектором; –вектор – множество всех равных векторов. Данный подход требует строгого изложение материала. Подходы к введению понятия «вектор» в учебниках разных авторов

В учебниках под редакцией А.Д. Александрова –величины, характеризующиеся не только численными характеристиками, но и направлением, называют векторными величинами или вектором; –перемещение – простейший пример векторной величины; –направленный отрезок – изображение перемещения, (то есть не сам вектор, а только его изображение). В учебниках под редакцией А.В. Погорелова –вектор - направленный отрезок; –равными векторами являются векторы, совмещающиеся при параллельном переносе. Подходы к введению понятия «вектор» в учебниках разных авторов

В учебниках Л.С. Атанасяна и А.Д. Александрова векторы изучаются сначала в геометрической, а затем в координатной форме. В учебниках А.В. Погорелова после определения вектора сразу вводится понятие их координат, что сразу ведет к алгебраизации данной темы. Содержание темы в разных учебниках практически не отличаются. Подходы к введению понятия «вектор» в учебниках разных авторов

Некоторые методические рекомендации Актуализацию опыта работы с векторами и введение основных понятий целесообразно организовать на одном уроке с помощью обсуждения результатов выполнения ряда специально предложенных заданий, ориентированных на выделение существенных характеристик и свойств векторов. Среди выводов, которые будут сделаны при выполнении первых заданий, должен быть вывод о том, что вектор – класс эквивалентности направленных отрезков, а каждый отрезок – представитель этого класса. При изучении действий над векторами также можно организовать самостоятельную познавательную деятельность учащихся с использованием групповых и игровых форм ее организации.

Некоторые методические рекомендации Изучая действия над векторами, следует как можно чаще обращать внимание на аналогию действий с числами, одночленами и многочленами (послужило поводом названию векторная алгебра). Скалярное произведение векторов, возможно, организовать в форме семинара (изучить самостоятельно, ответить на определенные вопрос, разобрать ответы).

При изучении элементов аналитической геометрии важно чтобы изучение данных вопросов не сводилось к манипулированию уравнениями. За каждым уравнением учащиеся должны видеть прямую, окружность и уметь интерпретировать результаты, полученные геометрическим методом, с помощью инструментальных построений. Некоторые методические рекомендации

Благодарю за внимание!