LOGO Арифметическ ая прогрессия МОУ СОШ 5 – «Школа здоровья и развития» г. Радужный Автор: Елена Юрьевна Семенова

Содержание Понятие арифметической прогрессии Формула n-ого члена арифметической прогрессии 2 4 Сумма n первых членов арифметической прогрессии 135 Понятие геометрической прогрессии Формула n-ого члена геометрической прогрессии Сумма n первых членов геометрической прогрессии 6 Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии 7

Понятие арифметической прогрессии Числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного и того же числа d, называют арифметической прогрессией. При этом d, называют разностью арифметической прогрессии. a n+1 = a n + d – рекуррентная формула

a6a6 Понятие арифметической прогрессии + d a5a5 a4a4 a3a3 a2a2 a1a1

Формула n-ого члена арифметической прогрессии a n = a 1 + (n – 1)d – формула n- ого члена а.п. a2 = a1 + d a1 = a1 a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d a5 = a4 + d = (a1 + 3d) + d = a1 + 4d и т.д.

a n = a k + (n – k)d a n = a 1 + (n – 1)d Формула n-ого члена а.п. Формула n-ого члена арифметической прогрессии an = an = an = an = a n-1 + a n+1 2 – характеристическо е свойство а.п.

Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии Sn = a1 + a2 + a3 + … + an-2 + an-1 + an Sn = an + an-1 + an-2 + … + a3 + a2 + a1 2Sn = (a1 + an) + (a2 + an-1) + (a3 + an-2) + … … + (an-2 + a3) + (an-1 + a2) + (an + a1) 2Sn = (a1 + an)n + S n = n S n = n a 1 + a n 2

Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии S n = n S n = n a 1 + a n 2 a n = a 1 + (n – 1)d S n = n S n = n 2a 1 + d(n – 1) 2

LOGO Геометрическа я прогрессия МОУ СОШ 5 – «Школа здоровья и развития» г. Радужный Автор: Елена Юрьевна Семенова

Понятие геометрической прогрессии Числовую последовательность, все члены которой отличны от нуля и каждый член которой, начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением его на одного и то же число q, называют геометрической прогрессией. При этом q, называют знаменателем геометрической прогрессии. b n+1 = b n q – рекуррентная формула

b6b6 Понятие геометрической прогрессии q q b5b5 b4b4 b3b3 b2b2 b1b1

Формула n-ого члена геометрической прогрессии b n = b 1 q n – 1 – формула n- ого члена г.п. b2 = b1 q b1 = b1 b3 = b2 q = (b1 q) q = b1 q2 b4 = b3 q = (b1 q2) q = b1 q3 b5 = b4 q = (b1 q3) q = b1 q4 и т.д.

b n = b k q n – k b n = b 1 q n – 1 Формула n-ого члена г.п. Формула n-ого члена геометриической прогрессии (b n ) 2 = b n-1 b n+1 – характеристическо е свойство г.п.

Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии Sn = b1 + b2 + b3 + … + bn-2 + bn-1 + bn Snq = (b1 + b2 + b3 + … + bn-2 + bn-1 + bn)q Snq = b1q + b2q + b3q + … + bn-2q + bn-1q + + bnq = b2 + b3 + … + bn-1 + bn + bnq Получим: Преобразуем: × q× q× q× q

Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии Sn = Sn = Sn = Sn = b n q – b 1 q – 1 Sn = b1 + (b2 + b3 + … + bn-2 + bn-1 + bn) С одной стороны Snq = (b2 + b3 + … + bn-2 + bn-1 + bn) + bnq С другой стороны Вычтем из второго равенства первое Snq – Sn = bnq – b1

Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии b n = b 1 q n – 1 Sn = Sn = Sn = Sn = b 1 (q n – 1) q – 1 Sn = Sn = Sn = Sn = b n q – b 1 q – 1

Формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии где | q | < 1 S = S = S = S = b1b1b1b1 1 – q Пример: Найти сумму бесконечной геометрической прогрессии 12; 4; 4/34 … В данной прогрессии q = 4 : 12 = 1/3 < 1 S = = = 9 S = = = 9 b – q 1 + 1/3