Вероятностно-статистическая линия школьного курса математики ТМОМ Общепедагогические основы обучения математике

План 1.Основные цели изучения элементов теории вероятности, комбинаторики и статистики в школьном курсе математики. 2.Краткий обзор учебников по данному разделу. 3.Методические особенности изучения основных понятий этой линии.

Стохастика – наука изучающая случайные величины, соединяющая элементы теории вероятности и математической статистики. Стохастика – раздел прикладной математики, применяемой в таких областях знания, как: - физика- экономика - химия - психология - биология - социология - экология - лингвистика Начиная с 2004 года в Государственном стандарте введена стохастическая линия.

Причины введения стохастической линии С середины70-х годов прошлого века вопросы теории вероятности, комбинаторики и статистики рассматривались факультативно в старших классах. В содержании современных образовательных программ, закрепленных ГОСтом, элементы теории вероятности и математической статистики выделены в содержательную линию, изучение которой начинается с 5-6 классов и завершается в

Значимость элементов знаний стохастической линии определяется широким проникновением прикладной математики в различные сферы человеческой деятельности. Без применения теории вероятности – основы стохастики - сегодня не мыслится принятие любого сколь-либо значимого решения по самым разнообразным проблемам в социокультурной и научно-производственной сферах. Причины введения стохастической линии

Основные цели изучения стохастики 1.Знакомство с элементами теории вероятности и математической статистики как адекватным средством описания явлений реального мира путем построения и изучения их стохастических моделей. 2.Развитие навыков вероятностно-статистического аспекта мышления при решении задачи теории вероятности и математической статистики. 3.Повышение уровня математической культуры учащихся на основе применения аппарата теории вероятности как к решению чисто математических задач так и житейских.

Содержание стохастической линии школьно курса математики Министерство образования Российской Федерации рекомендует образовательным учреждениям ориентироваться на следующие содержания нового материала: решение комбинаторных задач: перебор вариантов, подсчет числа вариантов с помощью правила умножения; представление данных в виде таблиц, диаграмм, вариантов, диаграммы Эйлера, средние значения результатов измерений; понятие и примеры случайных событий, частота событий, вероятность. Равновозможные события и подсчет их вероятности; представление о геометрической вероятности.

Знания и умения элементарной математики, опорные для стохастической линии операции над действительными числами; осознанное оперирование функциональной символикой; представления о свойствах геометрических объектов; анализ реальных числовых данных на основе таблиц и данных; применение формул для решения различных задач.

Требования к подготовке учащихся Согласно требованиям стандарта по математике после данной темы учащиеся должны уметь: 1)находить вероятность случайных событий в простейших случаях; 2)находить частоту событий, используя собственные наблюдения и готовые статистические данные; 3)вычислять средние значения результатов измерений.

Требования к подготовке учащихся Учащиеся должны использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для: 1)сравнения шансов наступления случайных событий, оценки вероятности случайного события в практических ситуациях, сопоставление модели с реальной ситуацией; 2)понимания статистических рассуждений; 3)анализа реальных числовых данных, представленных в виде диаграмм, графиков, таблиц.

Краткий обзор учебников Учебники под редакцией Ш.А. Алимова исключены из федерального перечня учебников для обучения в школе из-за того, что в них данная линия не рассматривается. Попытка построения полноправной вероятностно- статистической линии предпринята в рамках учебных комплектов под редакцией Г.В. Дорофеева, И.В. Шарыгина.

Анализируя учебный комплект в целом необходимо отметить соответствие содержания учебников требованиям государственного стандарта по математике, но с методической точки зрения важно отметить некоторые недостатки учебных комплектов под редакцией Г.В. Дорофеева, И.В. Шарыгина : авторы рассмотрели в учебниках три определения вероятности: статистическое, классическое и геометрическое, но все определения разнесены по времени, то есть изучаются в разных классах и между ними не пролеживается никакая связь; Краткий обзор учебников

некоторые недостатки учебных комплектов под редакцией Г.В. Дорофеева, И.В. Шарыгина : не указаны недостатки и достоинства того или иного определения, области их применении я, особенности каждого из определений вероятности; в каждом конкретном случае учащимся будет трудно определить когда какое определение применить; отсутствует подведение итогов изучения этой линии в основной школе, в конце обучения авторы будто забывают о вероятности вовсе;

Краткий обзор учебников некоторые недостатки учебных комплектов под редакцией Г.В. Дорофеева, И.В. Шарыгина : задачный материал, предлагаемый в учебниках неполон и недостаточен ; задания, в основном, однотипные; среди задач, представленных в учебнике, сравнительно немного ценных с практической точки зрения, действительно служащих для формирования вероятностно-статистического мышления учащихся.

Краткий обзор учебников Учебное пособие А.Г. Мордковича и П.В. Семенова – События. Вероятность. Статистическая обработка данных. Дополнительные параграфы к курсу алгебрры7-9 кл.- призвано восполнить отсутствие вероятностно-статистической линии. Особенности данного пособия: учебное пособие содержит только классическую схему вероятности, не рассматриваются остальные подходы; статистический материал собран в один параграф и рассматривается поверхностно; упражнения направлены на усвоение новых понятий и алгоритмов, а также имеются задачи практического характера. Данное пособие удовлетворяет всем требованиям государственного стандарта.

Краткий обзор учебников Аналогичная ситуация наблюдается в пособии М.В.Ткачевой, Е.В.Федоровой – Элементы статистики и вероятность: учебное пособие для 7-9 кл. Основное материал представлен частично, содержит излишние факты и понятия.

Изучение основных понятий теории вероятности Фундаментальными понятиями вероятностно- статистической линии являются понятия: событие; вероятность; случайная величина.

Понятие «событие» изучение связано с теоретико-множественным представлением; для корректного определения понятия необходимо чтобы учащиеся были знакомы с элементами теории множеств; в большинстве действующих традиционных курсах математики эти вопросы не рассматриваются и учителю приходится самому определять, как решать данную проблему.

Психологические трудности 1.Очень часто понятие «событие» воспринимается в контексте бытовой лексике, то есть связывается с некоторым единичным актом, локализованным в пространстве и времени, а в математическом определении понятие связывается и с единичным актом, и с некоторым их множеством с числом элементов, больших единицы. 2. Часто не разграничиваются понятия «событие» и «эксперимент». Понятие «событие» формируется на индуктивном уровне, начиная с понятия «элементарный исход» при рассмотрении простейших вероятностных моделей (стрельба по мишени, бросание монеты, бросание игральной кости, извлечение шаров или карт).

Последовательность разворачивания понятия Следуя Т. Байесу последовательность разворачивания понятия таково: 1)элементарный исход (событие); 2)невозможные и равновозможные исходы; 3)полная группа событий; 4)классификация событий по степени возможности реализации; 5)отношения между событиями; 6)простые и сложные события.

Изучение классификации событий по признаку возможности реализации имеет для учащихся важное мировоззренческое значении, так как формирует понимание того, что в окружающем мире не существует других событий, кроме достоверных, невозможных и случайных. Изучение операций над событиями желательно сопровождать примерами. Методической проблемой является обучение процедуре выделения простых событий. Разрешение этой проблемы происходит только в процессе решения задач. Целесообразно рассмотреть такие задачные ситуации, которые в дальнейшем можно использовать для вычисления вероятности сложного события по вероятности простых.

Изучение элементов комбинаторики Элементы комбинаторики – основа для вычисления вероятностей событий в широком классе вероятностных задач. Изучение элементов комбинаторики предшествует изучению второго фундаментального понятия стохастической линии – вероятности.

Изучения понятия «вероятность» Формирования понятия начинается с преодоления противоречий между субъективным, житейским опытом употребления и смыслом, вкладываемом в математике. Существуют разные определения понятия «вероятность»: классическое; аксиоматическое; статистическое; субъективное (экспертное). Формирование понятия «вероятность» происходит и в настоящее время, так как философский подход к трактовке данного понятия как «меры объективной возможности наступления или не наступления какого-либо события» для математики неприемлем в силу его размытости.

Схема введения понятия «вероятность» по А.Н. Колмогорову 1.Рассматривается классическое определение для классических экспериментов с равновозможными событиями, которые образуют полную группу. 2.Вводится статистическое определение как некоторого числа, около которого колеблется и к которому приближается относительная частота события. 3.Приводится геометрическое определение экспериментов с бесконечным числом исходов. Изучение основных теорем теории вероятности целесообразно осуществлять на основе примеров.

Основные теоремы теории вероятности Теорема о сложении вероятностей и следствие из нее. Теорема об умножении вероятностей и следствия из нее. Доказательства теорем не рассматриваются в базовом курсе математики (лишь в профильных классах).

Изучение понятия «случайной величины» Вводится конкретно-индуктивным способом через понятие переменной величины. В базовом курсе математики изучаются только дискретные случайные величины и их некоторые характеристики. Определение и свойства непрерывных случайных величин можно ввести и изучать только в профильных классах.

Основные характеристики и свойства случайных величин Основные характеристики и свойства случайных величин изучаются на уровне представления: закона распределения случайной величины и графической формы его задания; математического ожидания как точки на числовой прямой; дисперсии как меры концентрации результатов конкретных испытаний. При наличии дополнительных возможностей рассматриваются законы больших чисел и различные виды распределений и их свойства.

Благодарю за внимание!