1 Теорема Гаусса (закон Гаусса) один из основных законов электродинамики, входит в систему уравнений Максвелла. Выражает связь (а именно равенство с точностью до постоянного коэффициента) между потоком напряжённости электрического поля сквозь замкнутую поверхность и зарядом в объёме, ограниченном этой поверхностью. Применяется отдельно для вычисления электростатических полей.

2 Суммарный электрический поток через произвольную замкнутую поверхность q in – суммарный заряд внутри поверхности, – напряженность электрического поля в произвольной точке на поверхности. учитывает вклады зарядов как внутри, так и вне поверхности. Закон Гаусса

3 Фoрмальное доказательство закона Гаусса Тoчечный заряд внутри замкнутой поверхности произвольной формы Телесный угол

4 Применение закона Гаусса – альтернативная процедура расчета электрических полей. Закон Гаусса - фундаментальная электростатическая сила, действующая между точечными зарядами, обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Закон Гаусса удобен для расчета электрических полей высокосимметричных распределений зарядов. Применение закона Гаусса для различных распределений заряда

5 Применение закона Гаусса для различных распределений заряда Электрическое поле изолированного точечного заряда Сферическая симметрия пространства вокруг точечного заряда – сферическая поверхность Гаусса. Полученный результат эквивалентен результату, полученному с помощью закона Кулона. Поверхность Гаусса

6 Сферическая симметрия – сферическая поверхность Гаусса радиуса r вне шара и концентрическая с ним. Однородно заряженная сфера - электрическое поле вне сферы эквивалентно полю, создаваемому точечным зарядом, расположенным в центре сферы. Непроводящий твердый шар радиуса a заряжен с однородной объемной плотностью заряда и несет суммарный положительный заряд Q r > a: r Gaussian sphere Поверхность Гаусса Применение закона Гаусса для различных распределений заряда Сферически симметричное распределение заряда

7 r < a: В любой точке поверхности Гаусса и E = const. Поверхность Гаусса Применение закона Гаусса для различных распределений заряда Непроводящий твердый шар радиуса a заряжен с однородной объемной плотностью заряда и несет суммарный положительный заряд Q Сферическая симметрия – сферическая поверхность Гаусса радиуса r внутри шара и концентрическая с ним. Сферически симметричное распределение заряда

8 r > a r a r < a r a Применение закона Гаусса для различных распределений заряда Непроводящий твердый шар радиуса a заряжен с однородной объемной плотностью заряда и несет суммарный положительный заряд Q Сферически симметричное распределение заряда

9 Напряженность электрического поля, создаваемого тонким сферическим слоем (радиус a, общий заряд Q однородно распределен по поверхности слоя) Вне слоя r > a Напряженность электрического поля вне слоя аналогична той, что создается точечным зарядом Q, расположенным в центре шара, которому принадлежит слой. Поверхность Гаусса Применение закона Гаусса для различных распределений заряда Сферически симметричное распределение заряда

10 Внутри слоя r < a Применение закона Гаусса для различных распределений заряда Сферически симметричное распределение заряда Напряженность электрического поля, создаваемого тонким сферическим слоем (радиус a, общий заряд Q однородно распределен по поверхности слоя) Поверхность Гаусса

11 Защита электронных устройств от воздействия внешних электрических полей Применение закона Гаусса для различных распределений заряда Сферически симметричное распределение заряда Напряженность электрического поля, создаваемого тонким сферическим слоем (радиус a, общий заряд Q однородно распределен по поверхности слоя) Е внутри = 0

12 Электрическое поле, создаваемое положительно заряженным линейным проводником бесконечной длины с постоянной плотностью заряда на единицу длины. Цилиндрическая симметрия пространства вокруг линейного заряда – цилиндрическая поверхность Гаусса. Вид сверху В любой точке поверхности Гаусса и E = const. Поверхность Гаусса Применение закона Гаусса для различных распределений заряда Цилиндрическая симметрия в распределении заряда

13 Суммарный заряд внутри поверхности Гаусса равен l. Поверхность Гаусса Применение закона Гаусса для различных распределений заряда Цилиндрическая симметрия в распределении заряда Электрическое поле, создаваемое положительно заряженным линейным проводником бесконечной длины с постоянной плотностью заряда на единицу длины.

14 Плоскосимметричное распределение заряда Электрическое поле, создаваемое положительно заряженной плоскостью с однородной поверхностной плотностью заряда Плоская симметрия пространства вокруг линейного заряда – поверхность Гаусса - маленький цилиндр. В любой точке поверхности Гаусса и E = const. Боковая поверхность цилиндра не пересекается силовыми линиями электрического поля. Общий заряд внутри поверхности Гаусса равен q внутри = A. Общий поток E - const Поверхность Гаусса Применение закона Гаусса для различных распределений заряда

15 Электрический потенциал

16 Разность потенциалов и электрический потенциал - бесконечно малый вектор перемещения, касательный к направлению последнего. A B Работа электрического поля Потенциальная энергия системы заряд-поле изменяется на величину Величина этого линейного интеграла не зависит от траектории перемещения заряда из точки A в точку B, поскольку электрическая сила консервативна.

17 Электрический потенциал V = U/q 0 в любой точке электрического поля не зависит от величины q 0. Изменение потенциальной энергии системы Разность потенциалов Работа, выполненная внешней силой без изменения кинетической энергии пробного заряда, 1 эВ = 1.60 × Кл В = 1.60 × Дж Разность потенциалов и электрический потенциал СИ: [В] = 1 В 1 Дж/Кл Единица измерения электрического потенциала в

18 силовые линии Силовые линии электрического поля всегда направлены в направлении уменьшения электрического потенциала. Разность потенциалов в однородном электрическом поле

19 A B Если то Система положительный заряд – электрическое поле: потенциальная энергия убывает, а заряженная частица приобретает кинетическую энергию, если заряд движется в направлении поля. Ситуация аналогична той, в которой работа выполняется гравитационным полем над падающим объектом. Система отрицательный заряд - электрическое поле: потенциальная энергия увеличивается, если заряд движется в направлении поля. Разность потенциалов в однородном электрическом поле

20 Более общий случай: силовые линии / если Эквипотенциальная поверхность - произвольная поверхность, состоящая из непрерывного распределения точек с одним и тем же электрическим потенциалом. Разность потенциалов в однородном электрическом поле

21 Электрический потенциал точечных зарядов независимо от траектории движения между точками A и B

22 не зависит от траектории движения между точками A и B силой, не зависит от пути между A и B Работа, совершенная электрической Электрическая сила консервативна Электрическое поле неподвижного точечного заряда консервативно Электрический потенциал точечных зарядов не зависит от траектории движения между точками A и B

23 вЕсли Electric potential (V) A single positive charge Электрический потенциал точечных зарядов Электрический потенциал (V) Изолированный положительный заряд

24 Electric potential (V) Электрический потенциал точечных зарядов A dipole Электрический потенциал (V) Диполь

25 Потенциальная энергия точечных зарядов V 2 – электрический потенциал в точке P, созданный зарядом q 2. Последняя равна работе q 1 V 2, которую необходимо выполнить внешней силе, чтобы переместить заряд q 1 из бесконечности в точку P без ускорения. Если q 1 и q 2 одного знака, то U > 0, т.е. внешняя сила должна выполнить положительную работу над системой, чтобы сблизить два заряда. Если q 1 and q 2 противоположного знака, то U < 0, т.е., внешняя сила должна выполнить отрицательную работу над системой, чтобы предотвратить сближение двух зарядов. Потенциальная энергия взаимодействия двух точечных зарядов P

26 Потенциальная энергия трех точечных зарядов Потенциальная энергия точечных зарядов

27 Электрическое поле и электрический потенциал Разность потенциалов Электрическое поле - мера скорости изменения электрического потенциала в пространстве. вдоль эквипотенциальной поверхности, поэтому, и

28 Эквипотенциальные поверхности и силовые линии электрического поля Бесконечная заряженная плоскость Эквипотенциальные поверхности всегда должны быть перпендикулярны силовым линиям электрического поля и пересекать их.

29 Точечный заряд Потенциальное поле точечного заряда сферически симметрично. Эквипотенциальные поверхности и силовые линии электрического поля

30 Электрический диполь Эквипотенциальные поверхности и силовые линии электрического поля

31 Общий случай Эквипотенциальные поверхности и силовые линии электрического поля

32 Электрический потенциал диполя Точка P: Точка ( x >> a ): Точка (P между зарядами): Точка (P расположена слева от отрицательного заряда):

33 Расчет электрического потенциала I.Принцип суперпозиции: Электрический потенциал, создаваемый в произвольной точке P непрерывным распределением зарядов, равен интегралу потенциалов точечных зарядов, соответствующих этому распределению. II. Расчет линейного интеграла от V обычно предполагается равным 0 в точке, расположенной бесконечно далеко от зарядов. Электрический потенциал системы точечных зарядов равен алгебраической (скалярной) сумме потенциалов точечных зарядов. для заданного распределения зарядов.

34 Электрический потенциал непрерывного распределения зарядов

35 Электрический потенциал описывает электростатические явления в более упрощенной форме, чем это можно сделать используя понятия об электростатическом поле и электрических силах. Электрический потенциал

36 В какой точке напряженность электрического поля максимальна? Как она направлена? Контрольный вопрос