Почему не бывает животных, какой угодно величины? Почему, например, нет слонов в три раза большего роста, чем существуют, но тех же пропорций? Ответ таков: стань слон в три раза больше, вес его тогда увеличился бы в двадцать семь раз, как куб размера, а площадь сечения костей и, следовательно, их прочность только в девять раз, как квадрат размера. Прочности костей уже не хватило бы, чтобы выдержать непомерно увеличившийся вес. Такой слон был бы раздавлен собственной тяжестью..

В основу рассуждения положены две строгие математические зависимости. Первая устанавливает соответствие между размерами подобных тел и их объемами: объем изменяется, как куб размера. Вторая связывает размеры подобных фигур и их площади: площадь изменяется, как квадрат размера. Этим выразительным примером мы начнем разговор о числовых функциях числового аргумента, которые можно использовать для описания реальных процессов.

«Нельзя сомневаться ни в истине того, что все в мире может быть представлено числом, ни в справедливости того, что всякая в нем перемена и отношение выражается аналитической функцией». Н.И. Лобачевский

"…ни одно из других понятий не отражает явлений реальной действительности с такой непосредственностью и с такой конкретностью, как понятие функциональной зависимости, в которой воплощены и подвижность, и динамичность реального мира, и взаимная обусловленность реальных величин". А.Я. Хинчин

История развития понятия функции

Функция - одно из основных математических и общенаучных понятий, выражающее зависимость между переменными величинами. Оно сыграло и поныне играет большую роль в познании реального мира.

Идея функциональной зависимости восходит к древности. Ее содержание обнаруживается уже в первых математически выраженных соотношениях между величинами, в первых правилах действий над числами, в первых формулах для нахождения площади и объема тех или иных фигур. Примерами табличного задания функции могут служить астрономические таблицы вавилонян, древних греков и индийцев, а примерами словесного задания функции - теорема о постоянстве отношения площадей круга и квадрата на его диаметре

Графическое изображение зависимостей широко использовали Г. Галилей (1564–1642), П. Ферма (1601–1665), Р. Декарт (1569–1650), который ввел понятие «переменной величины».

Путь к появлению понятия функции заложили в 17 веке французские ученые Франсуа Виет и Рене Декарт; они разработали единую буквенную математическую символику, которая вскоре получила всеобщее признание. Введено было единое обозначение: неизвестных - последними буквами латинского алфавита x, y, z,... - известных - начальными буквами того же алфавита - a, b, c,... и т.д. Тем самым появилась возможность записывать общие формулы.

Развитие механики и техники потребовало введения общего понятия функции, что было сделано немецким философом и математиком Г. Лейбницем (1646 – 1716)

Само слово функция (от латинского functio - совершение, выполнение) впервые было употреблено Лейбницем в 1673г. в письме к Гюйгенсу (под функцией он понимал отрезок, длина которого меняется по какому-нибудь определенному закону). В печати он ввел этот термин с 1694 года. Начиная с 1698 года, Лейбниц ввел также термины переменная и константа.

Следующий шаг в развитии понятия функции сделал гениальный ученик Бернулли, член Петербургской Академии наук Леонард Эйлер (1707 – 1783) Он писал: «Когда некоторые количества зависят друг от друга таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называют функцией вторых».

В общем виде понятие обобщенной функции было введено французом Лораном Шварцем. В 1936 году, 28-летний советский математик и механик С. Л. Соболев первым рассмотрел частный случай обобщенной функции.

Последняя форма определения функции еще не означает конца ее истории. Можно не сомневаться, что в дальнейшем под воздействием новых требований как самой математики, так и других наук – физики, биологии, науки об обществе, определение функции будет изменяться и каждое следующее изменение будет открывать новые горизонты науки и приводить к важным открытиям. С.Л. Соболев

Когда математика стала изучать переменные величины и функции, лишь только она научилась описывать процессы, движение, так она стала необходима всем». Фридрих Энгельс.

Знание законов природы дало человеку возможность объяснять и предсказывать ее разнообразнейшие явления. «Математическими портретами» закономерностей природы и служит функция.

Но кривая линия – геометрический эквивалент функции – гораздо больше говорит воображению, чем формула, и гораздо более обозрима, чем таблица числовых значений» В.И. Гончаров

График делает информацию о функции зримой и наглядной. Выразительная «картинка» вмиг расскажет о характерных особенностях и поведении функции.

Чтобы наглядно проиллюстрировать характерные свойства функции, обратимся к пословицам. Ведь пословицы – это тоже отражение устойчивых закономерностей, выверенных многовековым опытом народа.

Какой мерой меряешь, такой и тебе отмерится. Каши маслом не испортишь. Чем дальше в лес, тем больше дров. Дальше от кумы – меньше греха. Выше меры конь не скачет. Пересев хуже недосева.

Каково жизнь проживёшь - такую славу наживёшь.

Современная математика знает множество функций, и у каждой свой «неповторимый облик», как неповторим облик каждого из миллиардов людей, живущих на Земле.

Какие функциональные зависимости можно обнаружить в «Отделении связи»? (Подсказка: от чего зависит стоимость телеграммы?) Какие функциональные зависимости можно обнаружить в ФАПе ? (Подсказка: от чего зависит длина столбика ртути в термометре?) Какие функциональные зависимости можно обнаружить в магазине? (Подсказка: от чего зависит стоимость покупки?)

4. Какие функциональные зависимости можно обнаружить в твоем доме? (Подсказка: от чего зависит расход краски?) 5. Какие функциональные зависимости можно обнаружить в твоем организме? (Подсказка: от чего зависит длина шага?) 6. Какие функциональные зависимости можно обнаружить в твоих школьных предметах? (Подсказка: от чего зависит масса вещества?) Какие функциональные зависимости можно обнаружить в прогнозе погоды? (Подсказка: как зависит температура воздуха от времени суток?)