Из истории геометрии Многогранники Данский Даниил Джафарова Лейла

Общий исторический обзор Разные формы материальных тел наблюдал человек в природе : формы растений и животных, гор и извилин рек, круга и серпа Луны и т. п.

Начало геометрии было положено в древности при решении чисто практических задач. Со временем, когда накопилось большое количество геометрических фактов, у людей появилось потребность обобщения, уяснения зависимости одних элементов от других, установления логических связей и доказательств. Постепенно создавалась геометрическая наука.

Геометрические знания примерно в объеме современного курса средней школы были изложены еще 2200 лет назад в Началах Евклида. Конечно, изложенная в Началах наука геометрия не могла быть создана одним ученым. Известно, что Евклид в своей работе опирался на труды десятков предшественников, среди которых были Фалес и Пифагор, Демокрит и Гиппократ, Архит, Теэтет, Евдокс и др. Пифагор Демокрит Гиппократ

Ценой больших усилий, исходя из отдельных геометрических сведений, накопленных тысячелетиями в практической деятельности людей, эти великие ученые сумели на протяжении столетий привести геометрическую науку к высокой ступени совершенства. Историческая заслуга Евклида состоит в том, что он, создавая свои Начала, объединил результаты своих предшественников, упорядочил и привел в одну систему основные геометрические знания того времени. Евдокс

Многие учебники элементарной геометрии во всем мире представляли ( а многие и поныне представляют ) собой лишь переработку книги Евклида. Начала на протяжении веков были настольной книгой величайших ученых. В XVII в. Декарт благодаря методу координат сделал возможным изучение свойств геометрических фигур с помощью алгебры. С этого времени начала развиваться аналитическая геометрия. Коренной перелом в геометрии впервые произвел в первой половине ХIХ в. великий русский математик Николай Иванович Лобачевский, который создал новую, неевклидову геометрию, называемую ныне геометрией Лобачевского.

Открытие Лобачевского было началом нового периода в развитии геометрии. За ним последовали новые открытия немецкого математика Б. Римана и др. В настоящее время геометрия тесно переплетается со многими другими разделами математики. Одним из источников развития и образования новых понятий в геометрии, как и в других областях математики, являются современные задачи естествознания, физики и техники. Лобачевски й

О развитии геометрии в Древней Греции до Евклида Ученые и философы Древней Греции восприняли и переработали достижения культуры и науки Древнего Востока. Фалес, Пифагор, Демокрит, Евдокс и др. ездили в Египет и Вавилон для изучения музыки, математики и астрономии. Не случайно зачатки греческой геометрической науки связаны с именем Фалеса Милетского, основателя ионийской школы. Ионийцы, населявшие территорию, которая граничила с восточными странами, первыми заимствовали знания Востока и стали их развивать.

Фалесу, главе этой школы, Прокл и другие историки приписывают немало геометрических открытий. Об отношении Пифагора Самосского к геометрии Прокл пишет в своем комментарии к Началам Евклида следующее : Он изучал эту науку ( т. е. геометрию ), исходя от первых ее оснований, и старался получать теоремы при помощи чисто логического мышления. Прокл приписывает Пифагору, кроме известной теоремы о квадрате гипотенузы, еще построение пяти правильных многогранников :

Грани додекаэдра являются правильными пятиугольниками. Диагонали же правильного пятиугольника образуют так называемый звездчатый пятиугольник - фигуру, которая служила эмблемой, опознавательным знаком для учеников Пифагора. Известно, что пифагорейский союз был одновременно философской школой, политической партией и религиозным братством. Согласно легенде, один пифагореец заболел на чужбине и не мог перед смертью расплатиться с ухаживавшим за ним хозяином дома. Последний нарисовал на стене своего дома звездчатый пятиугольник. Увидав через несколько лет этот знак, другой странствующий пифагореец осведомился о случившемся у хозяина и щедро его вознаградил.

Многогранники Поверхность, составленную из многоугольников и ограничивающую некоторое геометрическое тело, называется многогранником.( представители ) Четырехугольна я пирамида параллелограмм

Призма Рассмотрим два равных многоугольника A 1 A 2 … A n и B 1 B 2 … B n, расположенных в параллельных плоскостях а и b так, что отрезки A 1 B 1, A 1 B 2 …, A n B n, соединяющие соответственные вершины многоугольников, параллельны. Каждый из n четырехугольников A 1 A 2 B 2 B 1,A 2 A 3 B 3 B 2, …,A n A 1 B 1 B n является параллелограммом, так как имеет попарно параллельные противоположные стороны. Например, в четырехугольнике A 1 A 2 B 2 B 1 стороны A1A1 A2A2 AnAn B1B1 B2B2 BnBn b a

A 1 B 1 и A 2 B 2 параллельны по условию, а стороны A 1 A 2 и B 1 B 2 – по свойству параллельных плоскостей, пересеченных третьей плоскостью. Многогранник, составленный из двух равных многоугольников A 1 A 2 …A n и B 1 B 2 …B n, расположенных в параллельных плоскостях, и n параллелограммов, называется призмой. Если боковое ребро призмы перпендикулярно плоскости ее основания, то такую призму называют прямой; если боковое ребро призмы не перпендикулярно плоскости ее основания, то такую призму называют наклонной. У прямой призмы боковые грани - прямоугольники. Перпендикуляр к плоскостям оснований, концы которого принадлежат этим плоскостям, называют высотой призмы. Прямая призма, основанием которой служит правильный многоугольник, называется правильной призмой.

Площадь поверхности призмы Поверхность многогранника состоит из конечного числа многоугольников ( граней ). Площадь поверхности многогранника есть сумма площадей всех его граней. Площадь поверхности призм (S пр ) равна сумме площадей ее боковых граней ( площади боковой поверхности S бок ) и площадей двух оснований (2S осн ) - равных многоугольников : S пр =S бок +2S осн. A1A1 A2A2 AnAn B1B1 B2B2 BnBn b a

Призма и пирамида Подобно тому, как треугольник в понимании Евклида не являются пустым, т. е. представляет собой часть плоскости, ограниченную тремя неконкурентными ( т. е. не пересекающимися в одной точке ) отрезками, так и многогранник у него не пустой, не полый, а чем - то заполненный ( по - нашему - частью пространства ). В античной математике, однако, понятия отвлеченного пространства еще не было. Евклид определяет призму как телесную фигуру, заключенную между двумя A1A1 A2A2 AnAn B1B1 B2B2 BnBn b a

равными и параллельными плоскостями ( основаниями ) и с боковыми гранями - параллелограммами. Для того чтобы это определение было вполне корректным, следовало бы, однако, доказать, что плоскости, проходящие через пары непараллельных сторон оснований, пересекаются по параллельным прямым. Евклид употребляет термин плоскость как в широком смысле ( рассматривая ее неограниченно продолженной во все направления ), так и в смысле конечной, ограниченной ее части, в частности грани, аналогично применению им термина прямая ( в широком смысле - бесконечная прямая и в узком - отрезок ). В XVIII в. Тейлор дал такое определение призмы : это многогранник, у которого все грани, кроме двух, параллельны одной прямой.

Пирамиду Евклид определяет как телесную фигуру, ограниченную плоскостями, которые от одной плоскости ( основания ) сходятся в одной точке ( вершине ). Эго определение подвергалось критике уже в древности, например, Героном, предложившим следующее определение пирамиды : это фигура, ограниченная треугольниками, сходящимися в одной точке, и основанием которой служит многоугольник. Четырехугольная пирамида

Важнейшим недостатком этого определения является использование неопределенного понятия основания. Тейлор определил пирамиду как многогранник, у которого все грани, кроме одной, сходятся в одной точке. Лежандр в Элементах геометрии так определяет пирамиду : Телесная фигура, образованная треугольниками, сходящимися в одной точке и заканчивающаяся на различных сторонах плоского основания. После этой формулировки разъясняется понятие основания. Определение Лежандра является явно избыточным, т. е. содержит признаки, которые можно вывести из других. А вот еще одно определение, которое фигурировало в учебниках ХIХ в.: пирамида - телесный угол, пересеченный плоскостью.

Еще в древности существовали два пути определения геометрических понятий. Первый вел от фигур высшего порядка к фигурам низшего. Такой точки зрения придерживался, в частности, Евклид, определяющий поверхность как границу тела, линию - как границу поверхности, концы же линии - как точки. Второй путь ведет, наоборот, от фигур низшего измерения к фигурам высшего : движением точки образуется линия, аналогично из линий составляется поверхность и т. д. Одним из первых, который соединил обе эти точки зрения, был Герон Александрийский, писавший, что тело ограничивается поверхностью и вместе с этим может быть рассмотрено как образованное движением поверхности. В появившихся позже на протяжении веков учебниках геометрии принималась за основу то одна, то другая, а иногда и обе вместе точки зрения.

Многогранник, одна из граней которого - многоугольник, а остальные грани - треугольники с общей вершиной, называется пирамидой. Пирамида, основание которой - правильный многоугольник и вершина проектируется в его центр, называется правильной.

Измерение объемов Объемы зерновых амбаров и других сооружений в виде кубов, призм и цилиндров египтяне и вавилоняне, китайцы и индийцы вычисляли путем умножения площади основания на высоту. Однако древнему Востоку были известны в основном только отдельные правила, найденные опытным путем, которыми пользовались для нахождения объемов для площадей фигур. В более позднее время, когда геометрия сформировалась как наука, был найден общий подход к вычислению объемов многогранников.

Среди замечательных греческих ученых V - IV вв. до н. э., которые разрабатывали теорию объемов, были Демокрит из Абдеры и Евдокс Книдский. Евклид не применяет термина объем. Для него термин куб, например, означает и объем куба. В ХI книге Начал изложены среди других и теоремы следующего содержания. 1. Параллелепипеды с одинаковыми высотами и равновеликими основаниями равновелики. 2. Отношение объемов двух параллелепипедов с равными высотами равно отношению площадей их оснований. 3. В равновеликих параллелепипедах площади оснований обратно пропорциональны высотам Теоремы Евклида относятся только к сравнению объемов, так как непосредственное вычисление объемов тел Евклид, вероятно, считал делом практических руководств по геометрии. В произведениях прикладного характера Герона Александрийского имеются правила для вычислений объема куба, призмы, параллелепипеда и других пространственных фигур. Евдокс

О пирамиде и её объеме Термин пирамида заимствован из греческого пирамис или пирамидос. Греки в свою очередь позаимствовали это слово, как полагают, из египетского языка. В папирусе Ахмеса встречается слово пирамус в смысле ребра правильной пирамиды. Другие считают, что термин берет свое начало от форм хлебцев в Древней Греции пирос - рожь ). В связи с тем, что форма пламени иногда напоминает образ пирамиды, некоторые средневековые ученые считали, что термин происходит греческого слова пир - огонь. Вот почему в некоторых учебниках геометрии XVI в. пирамида названа огнеформное тело.

Согласно Архимеду, еще в V до н. э. Демокрит из Абдеры установил, что объем пирамиды равен одной трети объема призмы с тем же основанием и той же высотой. Полное доказательство этой теоремы дал Евдокс Книдский в IV до н. э. Египетские пирамиды ( по середине пирамида Хеопса высота которой достигает 147 м )

О призме и параллелепипеде Часть геометрии, в которой изучаются свойства куба, призмы, параллелепипеда и других геометрических тел и пространственных фигур, издавна называется стереометрией ; Слово это греческого происхождения ( стереос - пространственный, метрео - измеряю ) и встречается еще у знаменитого древнегреческого философа Аристотеля. Стереометрия возникла позже, чем планиметрия. Евклид дает следующее определение призмы : Призма есть телесная ( т. е. пространственная ) фигура, заключенная между плоскостями, из которых две противоположные равны и параллельны, остальные же - параллелограммы. Тут, как и во многих других местах, Евклид употребляет термин плоскость не в смысле безгранично продолженной плоскости, а в смысле ограниченной ее части, грани, подобно тому как прямая означает у него и отрезок прямой. Термин призма греческого происхождения и буквально означает отпиленное ( тело ). Термин параллелепипедальное тело встречается впервые у Евклида и означает дословно параллеле - плоскостное тело. Греческое слово кубос употребляется Евклидом в том же смысле, что и наше слово куб.

Параллелепипед Призма, основание которой - параллелограмм, называется параллелепипедом. В соответствии с определением параллелепипед - это четырехугольная призма, все грани которой - параллелограммы. Параллелепипеды, как и призмы, могут быть прямыми и наклонными. Прямой параллелепипед, основанием которого служит прямоугольник, называют прямоугольным параллелепипедом. У прямоугольного параллелепипеда все грани прямоугольники.

Конец