Отдел Управления динамическими системами

АНАЛИЗ ДИССИПАТИВНОСТИ И ШУМОСТАБИЛЬНОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИСКРЕТНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ М.М.Лычак Институт космических исследований НАНУ-ГКАУ, г.Киев, Украина,

Математической моделью динамики многих дискретных динамических систем есть разностные уравнения. Известно, что для анализа динамики нелинейных дискретных систем управления плодотворно применяется дискретный аналог метода функций Ляпунова. При наличии аддитивных ограниченных возмущений или при автоколебаниях в системе, нет асимптотической устойчивости, но возможна диссипативность, для исследования которой также может применяться аппарат функций Ляпунова. При этом фактически находится оценка минимального инвариантного множества, к которой стремятся фазовые траектории системы. Главной проблемой здесь является выбор самой функции Ляпунова, позволяющей провести этот анализ достаточно эффективно. Для исследования динамики непрерывных нелинейных систем было предложено несколько иной подход. А именно, вместо построения одной функции Ляпунова, позволяющей исследовать характер поведения фазовых траекторий системы во всем ее фазовом пространстве, предлагается использовать не одну, а несколько, фактически целую последовательность функций Ляпунова, каждая из которых позволяет исследовать их поведение лишь в некоторой части этого пространства. Совместное их рассмотрение позволяет исследовать общие динамические свойства системы. В частности, так можно исследовать ее асимптотическую устойчивость.

Выводы. Даны согласованные понятия диссипативности в области фазового пространства исследуемой дискретной системы и в целом, т. е. во всем фазовом пространстве, в том числе в условиях неопределенности. Выделено свойство щумоустойчивости диссипативной системы. Соответственно сформулированы и доказаны теоремы анализа этих свойств с помощью метода функций Ляпунова, в том числе робастной диссипативности при наличии шумов. Показано, что применение специально построенной последовательности функций Ляпунова может позволить улучшить исходную оценку предельного множества диссипативной системы. Доказана возможность установления в предельном случае свойства асимптотической устойчивости, в том числе и робастной. Рассмотрены содержательные примеры применения приведенных теорем для анализа динамики дискретной линейной и нелинейной системы при наличии неопределенности, как внешнего аддитивного возмущения, так и ее числовых параметров.

Спасибо за внимание !