Доклад на тему: «Вневписанная окружность» Номинация: математика Выполнили: Коляда Валентина Афонина Екатерина ученицы 9м класса гимназии 22 научный руководитель учитель высшей категории Плеснявых Елена Аслановна

Содержание Введение. Основная часть Глава 1. Определение вневписанной окружности. Центр вневписанной окружности. Касательная к вневписанной окружности. Глава 2. Формулы для вычисления радиусов вневписанных окружностей. § 1. Соотношение между радиусом вневписанной окружности и периметром треугольника § 2. Соотношение между радиусом вневписанной окружности, площадью и периметром треугольника Глава 3. Некоторые соотношения с радиусами вневписанных окружностей. § 1. Выражение суммы радиусов вневписанных окружностей через радиус вписанной окружности и радиус описанной окружности § 2. Выражение суммы величин, обратных радиусам вневписанных окружностей, через величину обратную радиусу вписанных окружностей. § 3. Выражение суммы всех попарных произведений радиусов вневписанных окружностей через квадрат полупериметра треугольника. § 4. Выражение произведения радиусов вневписанных окружностей через произведение радиуса вписанной окружности и квадрат полупериметра треугольника. § 5. Выражение высоты треугольника через радиусы вневписанных окружностей. Заключение. Библиография.

Глава 1. Окружность называется вневписанной в треугольник, если она касается одной из сторон треугольника и продолжений двух других сторон О А В С М N H

Центр вневписанной окружности в треугольник есть точка пересечения биссектрисы внутреннего угла треугольника, противолежащего той стороне треугольника, которой окружность касается, и биссектрис двух внешних углов треугольника (1) Дано: АВС Окр. (О; r) М, N, К – точки касания Доказать (1) Решение: Т. к. окружность касается сторон угла САК, то центр окружности О равноудален от сторон этого угла, следовательно, он лежит на биссектрисе угла САК. Аналогично, точка О лежит на биссектрисе угла АСN. Т. к. окружность касается прямых ВА и ВС, то она вписана в угол АВС, а значит её центр лежит на биссектрисе угла АВС. Ч.т. д. А В С О К М N

Расстояние от вершины угла треугольника до точек касания вневписанной окружности со сторонами этого угла равны полупериметру данного треугольника АВ 1 = АС 1 = p Дано: АВС Вневписанная окр. ( О а ; r a ) Доказать, что АВ 1 = АС 1 = p Доказательство: Т.к. О а - центр вневписанной окружности. Касательные, прове - денные к окружности из одной точки, равны между собой, поэтому ВВ 1 = ВА 1, СА 1 = СС 1, АВ 1 = АС 1. Значит, 2p = (AC + СА 1 ) + (AB + ВА 1 ) = (AC + CC 1 ) + (AB + BB 1 ) = AC 1 + AB 1 = 2AC 1 = 2AB 1 т.е. АВ 1 = АС 1 = p. ОаОа В1В1 ra ra ra ra ra ra А В С С1С1 А1А1 α/2

Глава 2. § 1. Радиус вневписанной окружности. Касающейся сторон данного внутреннего угла треугольника, равен произведению полупериметра треугольника на тангенс половины этого угла, т. е. r a = ptg, r b = ptg, r c = ptg (2) Дано: АВС Вневписанная окр. ( О а ; r a ) Доказать (2) Решение: В прямоугольном треугольнике А О а С 1 r a и p – длины катетов, угол О а А С 1 равен, поэтому r a = ptg. А В С ОаОа p p В1В1 С1С1 b c ra ra ra ra ra ra

§ 2. Радиус вневписанной окружности, касающейся данной стороны треугольника, равен отношению площади треугольника к разности полупериметра и этой стороны. т.е. r a =, r b =, r c = (3) Дано: АВС Вневписанная окр. ( О а ; r a ) Доказать (3) Решение: Имеем S = S ABC = S AOaC + S BOaC – S BOaC = × (b + c – a) = r a × (p – a), т.е. r a = А В С ОаОа p p В1В1 С1С1 b c ra ra ra ra ra ra

Глава 3. § 1 Сумма радиусов вневписанных окружностей равна сумме радиуса вписанной окружности и удвоенного диаметра описанной окружности, т. е. r a + r b + r c = r + 4R Доказательство: Выразим все радиусы через стороны, площадь и полупериметр треугольника: r =, R =, r a =, r b =, r c = Значит, r a + r b + r c – r = = = = = = 4R

§ 2. Сумма величин, обратных радиусам вневписанных окружностей, равна величине, обратной радиусу вписанной окружности, т. е. Доказательство: Используем выражения радиусов через стороны и площадь треугольника: r =, R =, r a =, r b =, r c = Значит,

§ 3. Сумма всех попарных произведений радиусов вневписанных окружностей равна квадрату полупериметра треугольника, т. е. r a r b + r b r c + r c r a = p 2 Доказательство: Воспользуемся формулами ранее доказанных радиусов через стороны и площадь треугольника: r =, r a =, r b =, r c = Подставим Из формулы Герона следует (p – a)(p – b)(p – c) =, поэтому

§ 4. Произведение всех трех радиусов вневписанных окружностей равно произведению радиуса вписанной окружности на квадрат полупериметра треугольника, т.е. r a r b r c = rp 2 Доказательство: Из ранее доказанных формул для радиусов и формулы Герона r a =, r b =, r c =, Тогда

Следствие 1. Площадь треугольника равна отношению произведения всех трех радиусов вневписанных окружностей к полупериметру треугольника, т.е. Доказательство: Из r a r b r c = rp 2 = rp × p = Sp. Следовательно

Следствие 2. Площадь треугольника равна квадратному корню из произведения всех трех радиусов вневписанных окружностей и радиуса вписанной окружности, т.е. Доказательство: Из следствия 1, что и равенства S = pr, получаем, перемножая их почленно,. Значит

§ 5. Величина, обратная высоте треугольника, опущенной на его данную сторону, равна полусумме величин, обратных радиусам вневписанных окружностей, касающихся двух других сторон треугольника, т.е.,, Доказательство: Воспользуемся формулами, Значит,,

Рассмотренные свойства позволили установить связь между радиусами вписанной и вневписанной окружностями, между радиусами вневписанной окружностью и площадью треугольника, между радиусами вневписанных окружностей и периметром треугольника. Данный материал выходит за рамки школьной программы и будет полезен учащимся увлеченным математикой. 3. Заключение.