Статистические распределения (продолжение) Лекция 10 Весна 2012 г.

Распределение Максвелла Для классической частицы

Условие нормировки Найдем нормировочный коэффициент из условия нормировки

Поэтому нормировочный множитель в 3 D имеет вид:

Распределение Максвелла имеет вид

Распределение Максвелла в полярных координатах: Элементарный объем в пространстве скоростей имеет вид: поэтому

Средняя арифметическая скорость молекулы Для вектора скорости: Для модуля скорости

Средняя квадратичная скорость Средний квадрат скорости:

Наиболее вероятная скорость - v вер Найдем положение максимума распределения Максвелла F(v):

Наиболее вероятная скорость равна:

Соотношение между скоростями

Распределение молекул по скоростям и энергиям

Число ударов молекул о стенку Из всех молекул, находящихся в сосуде, dN v имеют скорости в интервале от v до v+dv. В телесный угол попадают молекулы числом

Давление газа на стенку Рассмотрим абсолютно упругое столкновение молекул со стенкой. При каждом столкновении стенке сообщается импульс 2mvcos ϑ, а все молекулы, движущиеся под углом ϑ к нормали, сообщат стенке импульс за время Δt:

Давление газа на стенку (продолжение). После интегрирования по углам и скоростям получаем:

Подставив выражение для среднего квадрата скорости, получаем

Это уравнение состояния идеального газа. Его можно записать в виде уравнения Менделеева- Клапейрона:

Барометрическая формула Рассмотрим изотермическую атмосферу. В соответствии с распределением Больцмана

Барометрическая формула (продолжение) При h=0 концентрация молекул n = n 0. поэтому

Поскольку давление идеального газа равно p = nkT, то

Термодинамика Термодинамика – феноменологическая наука. Уравнение состояния получают опытным путем, или методами статистической физики.

Первое начало термодинамики (закон сохранения энергии)

Термодинамика (продолжение) Изолированная или замкнутая термодинамическая система – система без обмена энергией и веществом с внешними телами. Термодинамические параметры Равновесные и неравновесные системы Релаксация, время релаксации Термодинамические процессы. Равновесные (квазистатические) процессы.

Внутренняя энергия, работа и количество теплоты. Внутренняя энергия – энергия движения и взаимодействия атомов и молекул. Количество энергии, переданное от одного тела другому посредством теплопередачи, называется количеством теплоты. Изменение энергии, обусловленное перемещением внешних тел, воздействующих на систему, называется работой.

Термодинамика (продолжение) Функции процесса и функции состояния.

Давление, работа Элементарная работа Работа

Основные термодинамические процессы Изотермический процесс: T = const. Изобарный (изобарический) процесс: p = const. Изохорный (изохорический) процесс: V = const. Адиабатный (адиабатический) процесс: δQ = 0. Политропический (политропный) процесс: C = const.

Физический смысл температуры (1)

(2)

U ~ T (3) C=δQ/dT (4) (4)

Молярная теплоемкость Молярная теплоемкость С имеет размерность Дж/(К×моль). В таблицах обычно указывают удельную теплоемкость: Ее размерность Дж/(К× кг) Особое значение имеют теплоеикости для двух процессов: при постоянном объеме С V и при постоянном давлении С р.

Опыт показывает, что в широком интервале температур теплоемкость не зависит от Т Поэтому имеем

Молярная теплоемкость Уравнение Майера Используя уравнение и уравнение (4) получим для идеального газа (δQ=TdS) Для изобарного процесса (p = const) с учетом уравнения состояния (1) получим

Постоянная (показатель) адиабаты: γ = С p /C V. (11) Подставив (11) в (7), получим для ν молей идеального газа (12)

(7a) (12) δ

Разделим оба слагаемых на pV: Это выражение представляет собой сумму дифференциалов логарифмов Отсюда получаем уравнение адиабаты (уравнение Пуассона):

Это уравнение можно представить в других переменных: о

(13)

Политропические процессы Политропические процессы в координатах p, V описываются уравнением (16)

(8). dV/dT (16)

(8) (17) (18)

(19) δQ и

Работа газа при политропических процессах Работу, которую совершает газ при любом процессе, можно вычислять по формуле Но эту же работу можно вычислить с помошью первого начала термодинамики: или для конечных приращений

(17) (20)

Работа при изотермическом процессе (20) (21)

(22) (1)

(23)

(22) (24) (6)(9) (25) (26)

(27)

Второе начало термодинамики

(28)

δQ

(29) δQ (30) (29)(30)

Цикл Карно состоит из двух изотерм и двух адиабат

Проще всего цикл Карно выглядит в координатах S, T

КПД цикла Карно

Системы с переменным числом частиц Пусть система состоит из двух частей 1 и 2. Из аддитивности внутренней энергии следует, что Из этого выражения видно, что энергия системы зависит от числа частиц, поэтому

Из уравнения (2) непосредственно следует, что Пусть замкнутая система состоит из двух частей (подсистемы и ее окружения), имеющих энтропии S 1 и S 2. Энтропия системы должна быть максимальна по отношению к числам частиц в этих частях:

Необходимое условие экстремума: Из соотношения (2) следует, что Отсюда следует, что

Равенство химических потенциалов Из (4) и (5) следует, что В условиях равновесия T 1 =T 2 =T, поэтому