Дискретные случайные переменные и теория выборок. Дискретные случайные величины – генеральная совокупность конечна Непрерывные случайные числа – бесконечная генеральная совокупность

4 К К Пример распределения вероятности: X – сумма двух костей

К К Пример распределения вероятности: таблица возможных значений

К К Xf Пример распределения вероятности: вычисление частоты событий

k k Xf Пример распределения вероятности: таблица частоты событий

К К Xfp 211/36 322/36 433/36 544/36 655/36 766/36 855/36 944/ / / /36 Пример распределения вероятности: Вероятности событий

14 6 __ 36 5 __ 36 4 __ 36 3 __ 36 2 __ 36 2 __ 36 3 __ 36 5 __ 36 4 __ 36 вероятность X Пример распределения вероятности: функция распределения вероятности

Определение взвешенного среднего E(X) для ожидаемого значения X: Альтернативная запись E(X): E(X) = X Математическое ожидание случайной величины 1

14 Вычисление мат. ожидания x i p i x i p i x 1 p 1 x 1 p 1 21/362/36 x 2 p 2 x 2 p 2 32/366/36 x 3 p 3 x 3 p 3 43/3612/36 x 4 p 4 x 4 p 4 54/3620/36 x 5 p 5 x 5 p 5 65/3630/36 x 6 p 6 x 6 p 6 76/3642/36 x 7 p 7 x 7 p 7 85/3640/36 x 8 p 8 x 8 p 8 94/3636/36 x 9 p 9 x 9 p 9 103/3630/36 x 10 p 10 x 10 p /3622/36 x 11 p 11 x 11 p /3612/36 x i p i = E(X) 252/36 = 7

Определение E[g(X)], ожидаемого значения функции от X: Пример : Математическое ожидание функции дискретных случайных величин 2

x i p i g(x i ) g(x i ) p i x i p i x i 2 x i 2 p i x 1 p 1 g(x 1 )g(x 1 ) p 1 21/ x 2 p 2 g(x 2 ) g(x 2 ) p 2 32/ x 3 p 3 g(x 3 ) g(x 3 ) p 3 43/ ………...……... 54/ ………...……... 65/ ………...……... 76/ ………...……... 85/ ………...……... 94/ ………...…… / ………...…… / x n p n g(x n ) g(x n ) p n 121/ g(x i ) p i E(X 2 ) не равно E(X) 2 54,83 49 Мат. ожидание функции дискретных случайных величин 14

1. E(X + Y)= E(X) + E(Y) 2. E(bX)= bE(X) 3. E(b)= b Свойства математического ожидания 5

1. E(X + Y)= E(X) + E(Y) 2. E(bX)= bE(X) 3. E(b)= b Y= b 1 + b 2 X E(Y)= E(b 1 + b 2 X) = E(b 1 ) + E(b 2 X) = b 1 + b 2 E(X) Применение правил 8

Две случайные величины X и Y независимы тогда и только тогда, когда E[f(X)g(Y)] = E[f(X)] E[g(Y)] для любых f(X) и g(Y). Частный случай: если X и Y независимы, то E(XY) = E(X) E(Y) 3 Независимость двух случайных величин

Дисперсия и стандартное отклонение х 2 = E [(X - ) 2 ] - дисперсия х – стандартное отклонение

= E(X 2 ) - 2 = E[(X - ) 2 ] = E(X X + 2 ) = E(X 2 ) + E(-2 X) + E( 2 ) = E(X 2 ) - 2 E(X) + 2 = E(X 2 ) = E(X 2 ) - 2 Альтернативная форма вычисления дисперсии 7

1 Дискретные случайные величины 6 __ 36 5 __ 36 4 __ 36 3 __ 36 2 __ 36 2 __ 36 3 __ 36 5 __ 36 4 __ 36 вероятность X

Непрерывные случайные величины

X Непрерывные случайные величины 13 f(X) = 0.05 для 55 X 75 f(X) = 0 для X вероятность

X Непрерывные случайные величины Плотность вероятности f(X)f(X) f(X) = 0.05 для 55 X 75 f(X) = 0 для X 75

Ожидание X: E(X) = X В i-м наблюдении, случайная компонента: u i = x i - X Следовательно x i может быть представлена в виде фиксированной и случайной компоненты: x i = X + u i Среднее значение u i равно 0: E(u i ) = E(x i - X ) = E(x i ) + E(- X ) = X - X = 0 Постоянная и случайная компонента случайной переменной 4

Способ оценивания по выборке и значение оценки: Способ оценивания – это правило оценивания по ограниченной выборке (формула). Значение оценки – это применение правила к выборке. 1 Оценивание параметров случайной величины

Характеристики выборкиСпособ оценивания Среднее: X Дисперсия: 4 Виды оценивания

Сочетание значений в выборке случайно Оценки – это случайные величины

10 Распределения Х и X X X X Функция плотности вероятности X

Характеристики оценок Несмещенность – совпадение со средним истинным значением Эффективность – минимальная дисперсия Состоятельность – предел по вероятности равен истинному значению характеристики

1 Противоречие между несмещенностью и эффективностью Способ B Способ A Функция плотности вероятности X

Несмещенность Е(X) = x : 4 Несмещенность и эффективность

Несмещенность оценки Z = 1 x x 2 11 Несмещенность и эффективность

Эффективность Z = 1 x x 2 21 Несмещенность и эффективность

Конфликт между несмещенностью и эффективностью 2 Ошибка (положит)Ошибка (отриц) Функция потерь потери

5 Среднеквадратичная ошибка Z смещ способ B Функция плотности вероятности X

Несмещенная оценка Z для оценки параметра, E(Z)= Z Смещение ( - Z ), σ(Z)=E[(Z- Z ) 2 ] 13 Среднеквадратичная ошибка