Новые педагогические технологии Метод проектов

Одним из перспективных и актуальных направлений в работе современной школы стала проектная деятельность учащихся под руководством учителя- предметника. Ученики из различных источников отбирают материал по данной тематике: это и неизвестные им доказательства известных теорем, и новые свойства фигур, обнаруженные ими в процессе поиска этих доказательств, и задачи для поступающих в ВУЗы и т. п. Таким образом были рассмотрены несколько решений одной задачи на свойство биссектрисы.

Цель этой работы: -Показать, что теорему о свойстве биссектрисы треугольника можно доказывать различными способами с опорой на новую теорию в процессе изучения всего курса планиметрии.

Цель этой работы: -Повторить и систематизировать курс планиметрии на примере решения одной задачи разными способами при подготовке к выпускным экзаменам

Цель этой работы: -Развивать логическое мышление, умение обобщать и делать выводы.

Условие задачи: Биссектриса треугольника делит противоположную сторону пропорционально прилежащим сторонам.

Используется обобщенная теорема Фалеса: Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на них пропорциональные отрезки: Продолжим сторону АВ за вершину В и проведем СЕ||ВD, тогда треугольник ВСЕ- равнобедренный, в котором ВС=ВЕ. Но по обобщенной теореме Фалеса АD = АВ DC ВЕ Следовательно, АD = АВ ВС DC

Используется признак подобия треугольников по двум углам: Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны Продолжим биссектрису BD до пересечения в точке Е с прямой АЕ||ВС, тогда АЕD = DBC= DBA, а значит, треугольник АВЕ- равнобедренный и АВ=АЕ. Поскольку вертикальные углы ADE и BDC равны, то треугольники ADE и CDB подобны по двум углам и тогда DC = BC = BC AD AE AB Следовательно, AD = AB DC BC.

Используются формулы площади треугольника Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведенную к этой стороне Треугольники АВD и DВС имеют общую высоту ВН. Тогда отношение их площадей равно отношению АD АD DC. DC. Но по свойству биссектрисы эти треугольники имеют равные высоты, проведенные соответственно к сторонам АВ и ВС. Тогда SABD = AB = AD SDBC BC DC. SDBC BC DC.

Используются формулы площади треугольника: Площадь треугольника равна половине произведения двух сторон треугольника на синус угла между ними. S ABD = ½AD * BD * sin ADB, S CDB = ½DC * BD * sin CDB. Так как синусы смежных углов равны, то S ABD = AD S ABD = AD S CDB DC. S CDB DC. С другой стороны, S ADB = ½AB * BD * sin ABD и S CDB = ½BC * BD * sin CBD. Так как ABD= CBD ( BD- биссектриса), то S ADB = AB S CDB BC. Учитывая равенства (1) и (2), получим AD = AB DC BC.

Используется теорема синусов: Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. В треугольнике ABD AD = AB AD = AB sin ABD sin ADB и по свойству пропорции и по свойству пропорции AD =sin ABD AB sin ADB. В треугольнике DBC DC = BC DC = BC sin DBC sin BDC Тогда DC = sin DBC BC sin BDC. BC sin BDC.

Используется теорема синусов: Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Но т.к. BD- биссектриса и углы ADB и BDC смежные, то sin ABD = sin DBC и sin ADB= sin BDC. Значит sin ABD = sin DBC, sin ADB = sin BDC. Следовательно, AD = DC AB BC AB BC и по свойству пропорции AD = AB DC BC DC BC