Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее решить одну и ту же задачу тремя различными способами, чем решать три-четыре задачи. Решая одну задачу различными способами, можно путем сравнения выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт. У.У. Сойер (английский математик XX века)

Цель работы Изучить все существующие способы решения квадратного уравнения. Научиться использовать эти способы. Задачи Понять, что называется квадратным уравнением. Узнать какие виды квадратных уравнений существуют. Найти информацию о способах решения квадратного уравнения и изучить её.

Актуальность темы: Изучением квадратных уравнений люди занимались еще с древних веков. Мне захотелось узнать историю развития квадратных уравнений. В школьных учебниках дана не полная информация о квадратных уравнениях и способах их решения. Объект: Квадратные уравнения. Предмет: Способы решения данных уравнений. Методы исследования: аналитический. Гипотеза – если я при исследовании данной темы смогу реализовать постановленные мною цель и задачи, то соответственно выйду и на реализацию предпрофильной подготовки в области математического образования.

Методы исследования: Работа с учебной и научно-популярной литературой. Наблюдение, сравнение, анализ. Решение задач. Ожидаемые результаты: В ходе изучения данной работы, я реально смогу оценить свой интеллектуальный потенциал и соответственно в будущем определиться с профилем обучения, создать проектный продукт по исследуемой теме в форме компьютерной презентации, изучение данного вопроса позволит мне компенсировать недостаточность в знаниях по обозначенной теме. Считаю свою работу перспективной, так как в дальнейшем этим материалом могут воспользоваться и ученики, для повышения математической грамотности, и учителя на факультативных занятиях

О чем свидетельствуют клинописные тексты Вавилонские глиняные таблички с решениями задач в виде уравнений (около 2 тысяч лет до н.э.) - самые ранние свидетельства об изучении квадратных уравнений.

От древних греков до Ньютона Диофант Ал - Хорезми Фибоначчи Штифель Тарталья Кардано Франсуа Виет Рене Декарт Ньютон

Десять способов решения квадратных уравнений Решение квадратных уравнений по формуле Разложение левой части уравнения на множители Теорема Виета Применение свойств коэффициентов квадратного уравнения Решение квадратных уравнений способом «переброски» старшего коэффициента Метод выделения полного квадрата Графический способ решения квадратных уравнений Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки Решение квадратных уравнений с помощью номограммы Геометрический способ решения квадратных уравнений

Решение квадратных уравнений по формуле

Разложение левой части уравнения на множители Этим способом квадратные уравнения решаются уже учениками седьмого класса после того как они научатся раскладывать на множители способом группировки. Пример: х х – 24 = 0 Разложим левую часть уравнения на множители: х х – 24 = х х – 2х – 24 = х(х + 12) – 2(х + 12) = = (х + 12)(х – 2); (х + 12)(х – 2) = 0; х + 12 = 0 или х – 2 = 0; х 1 = -12 х 2 = 2 ; Числа – 12 и 2 являются корнями данного уравнения. Ответ: х 1 = -12 ; х 2 = 2.

Теорема Виета Познакомили поэта с теоремою Виета Оба корня он сложил, минус p он получил. А корней произведенье дает q из уравнения. Корни приведенного квадратного уравнения x 2 + px + q = 0. удовлетворяют теореме Виета, которая имеет вид х 1 x 2 = q x 1 +x 2 = -p

Применение свойств коэффициентов квадратного уравнения Пусть дано квадратное уравнение ах 2 + bх + с = 0 Если а + b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов уравнения равна нулю), то х 1 = 1, х 2 = c/а Если а - b + с = 0, или b = а + с, то х 1 = – 1, х 2 = – с/а.

Решение квадратных уравнений способом «переброски» старшего коэффициента Корни квадратных уравнений ax 2 + bx + c = 0 и y 2 + by + ac = 0 связаны соотношением: х = y/а. Рассмотрим квадратное уравнение ax² + bx + c = 0, где a 0. Умножая обе его части на а, получаем уравнение а²х² + аbх + ас = 0. Пусть ах = у, откуда х = у/а; тогда приходим к уравнению у² + bу + ас = 0, равносильного данному. Его корни у 1 и у 2 найдем с помощью теоремы Виета. Окончательно получаем х 1 = y 1 /a и х 2 = y 2 /a.

Метод выделения полного квадрата х 2 + 6х – 7 = 0 Выделим в левой части полный квадрат. Для этого запишем выражение х 2 + 6х в следующем виде: х 2 + 6х = х 2 + 2· х ·3 В полученном выражении первое слагаемое – квадрат числа х, а второе – удвоенное произведение х на 3, поэтому чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 3 2, так как х 2 + 2· х · = (х + 3) 2 Преобразуем теперь левую часть уравнения х 2 + 6х – 7 = 0, прибавляя к ней и вычитая 3 2, имеем: х 2 + 6х – 7 = х 2 + 2· х · – 3 2 – 7 = = (х + 3) 2 – 9 – 7 = (х + 3) 2 – 16 Таким образом, данное уравнение можно записать так: (х + 3) 2 –16 = 0, т.е. (х + 3) 2 = 16. Следовательно, х = 0 или х = 0 х 1 = 1 х 2 = -7 Ответ: -7; 1.

Графический способ решения квадратных уравнений Решим графически уравнение ах 2 + bx +с = 0 Постоим графики функций y = ax 2 и y = - bx - c в одной системе координат х 1 и х 2 – корни уравнения ах 2 + bx +с = 0

Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки 1. Выберем систему координат. 2. Построим точки S (-b/2а; а+с/2а) – центр окружности и А(0; 1). 3. Проведем окружность с радиусом SA. Абсциссы корнями Абсциссы точек пересечения окружности с осью Ох являются корнями данного квадратного уравнения. А S O xy x1x1x1x1 x2x2x2x2

Решение квадратных уравнений с помощью номограммы Для уравнения z 2 – 9z + 8 = 0 Номограмма дает корни z 1 = 8 и z 2 = 1 Ответ: 1; 8. 2z 2 – 9z + 2 = 0 z 2 – 4,5z + 1 = 0 Номограмма дает корни z 1 = 4 и z 2 = 0,5 Ответ: 0,5; 4.

Геометрический способ решения квадратных уравнений Пример, ставший знаменитым, из «Алгебры» ал - Хорезми: х х = 39. В оригинале эта задача формулируется следующим образом: «Квадрат и десять корней равны 39». S = x x +25 (х х = 39) S = = 64, откуда следует, что сторона квадрата АВСD, т.е. отрезок АВ = 8. х = 8 - 2,5 - 2,5 = 3 х2х2 АD СВ

На основании опроса установлено, что: Наиболее сложными оказались следующие способы: - разложение левой части уравнения на множители, - метод выделения полного квадрата. Рациональные методы решения: - решение квадратных уравнений по формуле; - решение уравнений с использованием теоремы Виета Практического применения не имеет - геометрический способ решения квадратных уравнений. Никогда раньше не слышали о способах: - применение свойств коэффициентов квадратного уравнения; - с помощью номограммы; - решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки; - способ «переброски» (этот способ вызвал интерес у учеников).