ЗДРАВСТВУЙТЕ!

Лекция 14. ЭЛЕМЕНТЫ ФИЗИЧЕСКОЙ КИНЕТИКИ 1. Явление переноса в газах.Явление переноса в газах. 2. Число столкновений и длина свободного пробега молекул в газах.Число столкновений и длина свободного пробега молекул в газах. 3. Диффузия газов.Диффузия газов. 4. Внутреннее трение. Вязкость газов.Внутреннее трение. Вязкость газов. 5. Теплопроводность газов.Теплопроводность газов. 6. Коэффициенты переноса и их зависимость от давления.Коэффициенты переноса и их зависимость от давления. 7. Понятие о вакууме.Понятие о вакууме.

1. Явления переноса в газах Мы знаем, что молекулы в газе движутся со скоростью пули, звука. Однако, находясь в противо- положном конце комнаты, запах разлитой пахучей жидкости мы почувствуем через сравнительно боль- шой промежуток времени. Это происходит потому, что молекулы движутся хаотически, то есть они сталки- ваются и траектория у них ломаная. Рассмотрим следующие явления: 1) Распространение молекул примеси в газе от источника называется диффузией.

Вы встретитесь с понятием диффузия (например – теплопроводность от радиатора транзистора и тому подобные). Основные причины и закономерности диффузии, теплопроводимости легче понять рассматривая явления переноса в газах. (14.1) 2) Если какое либо тело движется в газе, то оно сталкивается с молекулами газа и сообщает им импульс. С другой стороны тело тоже будет испы- тывать соударения со стороны молекул газа, и полу- чать собственный импульс, но направленный в проти- воположную сторону. Газ ускоряется, тело тормо- зиться, то есть на тело действуют силы трения.

Такая же сила трения будет действовать и между двумя соседними слоями газа, движущимися с разными скоростями. Это явление носит название - внутреннее трение или вязкость газа, причём (14.2) 3) Если в соседних слоях газа создана и поддерживается разность температур, то между ними будет происходить обмен тепла. Благодаря хаотическому движению, молекулы в соседних слоях будут перемешиваться, и их средние энергии будут выравниваться.

Происходит перенос энергии от более нагретых к более холодным. Этот процесс называется теплопроводностью. – поток тепла. (14.3) В процессе диффузии происходит перенос вещества, при внутреннем трении – перенос импульса, при теплопроводности – перенос энергии (тепла). А в основе лежит один и тот же механизм – хаотическое движение молекул. Общность механизма, обуславливающего все эти явления переноса приводит к тому, что их закономерности должны быть похожи друг на друга. Содержание

2. Число столкновений и длина свободного пробега молекул в газах Обозначим λ i – длина свободного пробега моле- кулы; λ средняя длина свободного пробега. Именно эта величина нас и интересует (рис. 14.1). λiλi Рис. 14.1

Модель газа – твёрдые шарики одного диаметра взаимодействующие только при столкновении. Обозначим S эфф. – эффективное сечение молекулы (рис. 14.2). D Рис. 14.2

S эфф =πD 2 /4 – площадь, в которую не может проникнуть центр любой другой молекулы. За одну секунду молекула проходит путь, равный средней арифметической скорости υ. За одну секунду молекула претерпевает ν столкновений. Следовательно (14.4)

Подсчитаем число столкновений. Предположим, что все молекулы застыли, кроме одной. Её траектория будет представлять собой ломанную линию. Столкновения будут только с теми молекулами, центры которых лежат внутри цилиндра радиусом d (рис. 14.3). Рис Длина цилиндра за одну секунду равна υ' ; умножив объём υ' S на число молекул в единице объёма n, получим среднее число столкновений в одну секунду: ν = d 2 υ' n (14.5)

На самом деле все молекулы движутся (и в сторону и на встречу друг другу), поэтому число соударений определяется средней скоростью движения молекул относительно друг друга. По закону сложения случайных величин (14.6) А так как то получим (14.7)

Так как p = nkT, то есть то (14.8) то есть Здесь можно заметить, что с учётом введения нами эффективного сечения молекулы S эфф = πd 2., (14.9) Пример: при d = 3Å = м, р = 1 атм, Т = 300 К, λ = 10 7 м. Т.к. λ = 10 7 м, то число столкновений Содержание

3. Диффузия газов Рис Диффузия – это распределение молекул приме- си в газе от источника.

Решаем одномерную задачу. Пусть в газе присутствует примесь с концентрацией n в точке с координатой х. Концентрация примеси зависит от координаты х (рис. 14.4). (14.10) – в общем случае. Так как у нас одномерная задача, то При наличии gradn, хаотическое движение будет более направленным – стремиться выровняться по концентрации и возникнет поток молекул примеси, направленных от мест с большей концентрацией к местам с меньшей концентрацией. Найдём этот поток.

Пусть в плоскости с координатой х находится единичная площадка S перпендикулярная оси х. Подсчитаем число молекул, проходящих через площадку в направлении слева направо (N + ) и справа налево (N ) – за время t (рис. 14.5). Рис. 14.5

N = N + – N - '' (14.11) (14.12) где n 1 ' концентрация молекул слева от площади, а n 2 '' концентрация молекул справа от площади. Через поверхность S, будут пролетать молекулы, претерпевшие последнее соударение на различных расстояниях от S. Однако в среднем последнее соударение происходит на расстоянии от S, равном средней длине свободного пробега λ. Поэтому в качестве n 1 ' разумно взять значение n 1 (x- ), а в качестве n 2 '' – значение n 1 (x+ ). Тогда с учетом (14.11) (14.13)

Поскольку очень мала, то из математического анализа известно, что и тогда разность значений функций n(x), стоящую в квадратных скобках, можно представить в виде Подставив это в выражение (14.13), получим, что (14.14) Сравнение выражения (14.14) с формулой (14.1) показывает, что исходя из молекулярно-кинетических представлений, удается не только прийти к правильной зависимости N i от dn i /dx, но и получить выражение для

коэффициента диффузии D: (14.15) Более строгий расчет приводит к такой же формуле, но с несколько отличным числовым коэффициентом. (14.16) или в общем случае (в трёхмерной системе) N = - D grad n (14.17) Уравнение Фика. Поток, направленный в сторону уменьшения концентрации, численно равен потоку через единицу площади в единицу времени при grad n = 1. Содержание

4. Внутреннее трение. Вязкость газов Рассмотрим ещё одну систему координат (рис. 14.6) υ от х. Пусть в покоящемся газе вверх, перпендикулярно оси х, движется пластинка со скоростью υ 0, причём υ 0

Например, в твёрдых телах силы трения имеют электромагнитную природу. Каждая молекула газа в слое принимает участие в двух движениях: тепловом и направленном. Рис. 14.6

Но так как направление теплового движения хаотически меняется, то в среднем вектор тепловой скорости равен нулю. При направленном движении вся совокупность молекул будет дрейфовать с постоянной скоростью υ. Таким образом средний импульс отдельной молекулы в слое определяется только дрейфовой скоростью υ: p 0 = m 0 υ. Но так как молекулы участвуют в тепловом движении, они будут переходить из слоя в слой. При этом они будут переносить с собой добавочный импульс, который будет определяться молекулами того слоя, куда перешла молекула. Перемешивание молекул разных слоёв приводит к выравниванию дрейфовых скоростей разных слоёв, что и проявляется макроскопически как действие сил трения между слоями.

Вернёмся к рис и рассмотрим элементарную площадку dS перпендикулярно оси х. Через эту площадку за время dt влево и вправо переходят потоки молекул. Как мы уже говорили (14.18) Через площадку S в единицу времени переносится импульс K=N(mu 1 -mu 2 ) (m – масса молекулы). Подстановка выражения (14.18) для N дает (14.19)

Подстановка этих значений в (14.19) дает для потока импульса в направлении оси z выражение (14.20) Приняв во внимание, что произведение nm равно плотности газа, можно записать (14.21) Сравнение с формулой (14.2) дает выражение для коэффициента вязкости (14.22)

Уравнение (14.22) называют уравнением Ньютона, где D – коэффициент диффузии; ρ – плотность. Физический смысл η в том, что он численно равен импульсу, переносимому в единицу времени через единицу площади при градиенте скорости равном единице (grad S). Содержание

5. Теплопроводность газов Рассмотрим газ, заключённый между двумя параллельными стенками, имеющих разную темпера- туру (Т а и Т б (рис. 14.7)). Рис. 14.7

Итак, у нас имеется градиент температуры тогда через газ в направлении оси х будет идти поток тепла. Хаотично двигаясь, молекулы будут переходить из одного слоя газа в другой, перенося с собой энергию. Это движение молекул приводит к перемешиванию молекул, имеющих различную кинетическую энергию При подсчёте потока тепла введём следующие упрощения: 1) υ = const (средне арифметическая скорость). 2) Примем, что концентрация молекул в соседних слоях тоже одинакова, (хотя на самом деле она различается. Это упрощение даёт ошибку 10 %).

Снова вернёмся к рисунку: через площадку S за единицу времени проходит молекул: (14.23) Средняя энергия этих молекул W к – соответствует значению энергии в том месте, где они испытывают последнее результирующее столкновение. Для одной молекулы газа: (14.24) соответствующую температуре в том месте, где произошло ее последнее соударение с другой молекулой.

В соответствии со сказанным для потока тепла через площадку S в положительном направлении оси x получается выражение где N – определяется формулой (14.23). Подстановка значений N, W k1, W k2 дает (14.25) Разность T 1 –T 2 равна (14.26) Здесь - производная от Т по оси х в том месте, где расположена плоскость S. Тогда (14.27)

Сопоставление этой формулы с формулой (14.3) дает для коэффициента теплопроводности следующее выражение (14.28) Вспомним, что выражение определяет теплоемкость при постоянном объеме С v моля газа, т.е. количество газа, содержащего N A молекул.

Аналогично выражение ink/2 представляет собой теплоемкость количества газа, содержащего n молекул, т.е. теплоемкость единицы объема газа. Эту теплоемкость можно получить, умножив удельную теплоемкость c v (теплоемкость ед. массы) на массу ед. объема, т.е. на плотность газа. Таким образом, (14.29) Тогда коэффициент теплопроводности (14.30) - уравнение Фурье (14.31) Содержание

6. Коэффициенты переноса и их зависимость от давления Сопоставим N = D gradU или Уравнение Фика для диффузии; K = η gradu или Уравнение Ньютона для трения; Q = χ gradT или - Уравнение Фурье для теплопроводности. Все эти законы были установлены опытно, задолго до обоснования молекулярно – кинетической теорией.

Эта теория позволила установить, что внешнее сходство уравнений обусловлено общностью лежащих в их основе молекулярного механизма перемешивания молекул в процессе их теплового хаотического движения. Однако к концу XIX века, несмотря на блестящие успехи молекулярно – кинетической теории ей не доставало твёрдой опоры – прямых экспериментов, доказывающих существование атомов и молекул. Это дало возможность некоторым учёным, философам (Максвелл, Освальд) – наверное вы изучали это течение – субъективный идеализм, заявлять, что схожесть формул – это произвол учёных – упрощённое математическое описание явления.

Но это конечно не так. Все выше указанные коэффициенты связаны между собой и все выводы молекулярно – кинетической теории подтверждены опытно. Коэффициент диффузии Коэффициент вязкости Коэффициент теплопроводности (здесь m – масса одной молекулы, а nm = ρ плотность). Из анализа этих формул вытекает целый ряд важных выводов.

Рассмотрим зависимость коэффициента переноса от давления p. Так как скорость теплового движения молекул и не зависит от давления p, а коэффициент диффузии D ~ λ, а λ зависит от давления λ(p). При обычных давлениях в разряженных газах, в высоком вакууме D = const. Нужно сказать, что вакуум – понятие относи- тельное. Для газа – нормальное давление 1 атм, а ~10 5 – вакуумное. С ростом давления уменьшается λ и затрудняется диффузия (D 0). При T = const ρ ~ p отсюда, при обычных давле- ниях:, ρ ~ p, η = const; в вакууме D = const, ρ ~ p, η ~ ρ.

Рис С увеличением p и ρ, повы- шается число молекул пе- реносящих импульс из слоя в слой, но даёт уменьшенное расстояние свободного пробега λ. Поэтому вязкость η не зависит от давления p – это подтверждено эксперимен- тально. На (рис. 14.8) показаны зависимости коэффициентов переноса и λ от p. То есть здесь изображено всё, о чём мы говорили выше. Эти зависимости широко используют в технике (например при измерении вакуума).

Молекулярное течение. Эффузия газов Молекулярное течение – течение газов в условиях вакуума. То есть, когда молекулы не сталкиваются друг с другом. В вакууме происходит передача импульса непосредственно стенкам сосуда, то есть происходит трение газа о стенки сосуда. Трение перестаёт быть внутренним и понятие вязкости теряет свой прежний смысл (как трение одного слоя газа о другой). Течение газа в условиях вакуума через отверстие (под действием разности давлений) называется эффузией газа.

Как при молекулярном течении, так и при эффузии количество протекающего в единицу времени газа обратно пропорционально корню квадратному из молярной массы: (14.32) Эту зависимость тоже широко используют в технике (например – при разделении изотопов газа U 235 отделяют от U 238, используя газ UF 6 ). Содержание

7. Понятие о вакууме Газ называется разреженным (разреженный газ), если его плотность столь мала, что средняя длина свободного пробега молекул λ может быть сравнима с линейными размерами l сосуда, в котором находится газ. Такое состояние газа также называется вакуумом. Различают следующие степени вакуума: сверхвысокий ( λ >>l), высокий ( λ >l), средний ( λ l) и низкий вакуум. В трех первых степенях вакуума свойства разряженных газов отличаются от свойств неразряженных газов. Это видно из таблицы, где приведены некоторые характеристики различных степеней вакуума.

Характеристика Вакуум низкийсреднийвысокийСверхвысо- кий Давление в мм.рт.ст 760 – 11 – – и менее Число молекул в единице объема (в м 3 ) – – – и менее Зависимость от давления коэффициентов и вязкости и теплоемкости Не зависит от давления Зависимость определяется параметром р Прямо- пропорцио- нальны давлению Теплопро- водность и вязкость практически отсутствуют

В состоянии высокого вакуума уменьшение плотности разряженного газа приводит к соответствующей убыли частиц без изменения λ. Следовательно, уменьшается число носителей импульса или внутренней энергии в явлениях вязкости и теплопроводности. Коэффициент переноса в этих явлениях прямо пропорциональны плотности газа. В сильно разряженных газах внутреннее трение по существу отсутствует. Вместо него возникает внешнее трение движущегося газа о стенки сосуда, связанное с тем, что молекулы изменяют свои импульсы только при взаимодействии со стенками сосуда. В этих условиях коэффициент трения в первом приближении пропорционален плотности газа и скорости его движения.

Удельный тепловой поток в сильно разряженных газах пропорционален разности температур и плотности газа. Стационарное состояние разряженного газа, находящегося в двух сосудах, соединенных узкой трубкой, возможно при условии равенства встречных потоков частиц, перемещающихся из одного сосуда в другой: n 1 υ 1 = n 2 υ 2, где n 1 и n 2 – число молекул в 1 см 3 в обеих сосудах; υ 1 и υ 2 – их средние арифметические скорости.

Если Т 1 и Т 2 – температуры газа в сосудах, то предыдущее условие стационарности можно переписать в виде уравнения, выражающего эффект Кнудсена: где р 1 и р 2 – давления разряженного газа в обоих сосудах.

Лекция окончена!