10.4 Элементы теории вероятностей При статистическом описании свойств термодинамических систем используются понятия теории вероятностей. Рассмотрим некоторые положения этой теории. Случайными называются события, условия наступления которых неизвестны, и которые поэтому нельзя с определенностью предсказать. Пусть случайная величина принимает дискретный набор значений x 1, x 2, x 3, …, x n. Выполним N измерений. Если из этого числа измерений значение x i было обнаружено N i раз, то вероятностью события x i называют величину (10.4.1) Поскольку то При статистическом описании свойств термодинамических систем используются понятия теории вероятностей. Рассмотрим некоторые положения этой теории. Случайными называются события, условия наступления которых неизвестны, и которые поэтому нельзя с определенностью предсказать. Пусть случайная величина принимает дискретный набор значений x 1, x 2, x 3, …, x n. Выполним N измерений. Если из этого числа измерений значение x i было обнаружено N i раз, то вероятностью события x i называют величину (10.4.1) Поскольку то

Рассмотрим сложное событие, состоящее в том, что в нем обнаруживаются два значения x i и x k в два разных момента. Вероятность получить результат x i либо x k равна (10.4.2) Это равенство выражает собой теорему сложения вероятностей – вероятности несовместимых событий складываются. Если две случайные величины x и y могут быть определены одновременно, так что измерение величины x не влияет на результат измерения величины y, то вероятность обнаружения двух событий равна (10.4.3) Это теорема об умножении вероятностей – вероятность появления двух независимых друг от друга событий равна произведению вероятностей этих событий. Рассмотрим сложное событие, состоящее в том, что в нем обнаруживаются два значения x i и x k в два разных момента. Вероятность получить результат x i либо x k равна (10.4.2) Это равенство выражает собой теорему сложения вероятностей – вероятности несовместимых событий складываются. Если две случайные величины x и y могут быть определены одновременно, так что измерение величины x не влияет на результат измерения величины y, то вероятность обнаружения двух событий равна (10.4.3) Это теорема об умножении вероятностей – вероятность появления двух независимых друг от друга событий равна произведению вероятностей этих событий.

Зная результаты измерений случайной величины можно найти ее среднее значение (10.4.4) Пусть теперь случайная величина x принимает непрерывный ряд значений. Разобьем область ее изменения на малые интервалы Δх. Выполним N измерений. Обозначим через ΔN(х) – число попаданий величины x в некоторый интервал x ÷ x + Δх. Тогда вероятность обнаружения случайной величины в данном интервале равна Составим отношение этой вероятности к ширине интервала (10.4.5) Зная результаты измерений случайной величины можно найти ее среднее значение (10.4.4) Пусть теперь случайная величина x принимает непрерывный ряд значений. Разобьем область ее изменения на малые интервалы Δх. Выполним N измерений. Обозначим через ΔN(х) – число попаданий величины x в некоторый интервал x ÷ x + Δх. Тогда вероятность обнаружения случайной величины в данном интервале равна Составим отношение этой вероятности к ширине интервала (10.4.5)

Построим график функции f(x). Он представляет собой ступенчатую кривую, называемую гистограммой. Величина площади некоторого прямоугольника равна вероятности обнаружения случайной величины в интервале x ÷ x+ Δх. В пределе Δх 0 гистограмма превращается в гладкую кривую f(x), которая называется функцией распределения вероятностей. Из определения (10.4.5) следует, что f(x) - есть вероятность нахождения случайной величины в единичном интервале, поэтому f(x) является плотностью вероятности. Построим график функции f(x). Он представляет собой ступенчатую кривую, называемую гистограммой. Величина площади некоторого прямоугольника равна вероятности обнаружения случайной величины в интервале x ÷ x+ Δх. В пределе Δх 0 гистограмма превращается в гладкую кривую f(x), которая называется функцией распределения вероятностей. Из определения (10.4.5) следует, что f(x) - есть вероятность нахождения случайной величины в единичном интервале, поэтому f(x) является плотностью вероятности.

Полная вероятность нахождения случайной величины должна равняться 1. Ей отвечает площадь под всей кривой f(x), отсюда получаем условие нормировки f(x) Зная функцию распределения вероятностей f(x), можно найти среднее значение непрерывной случайной величины (10.4.6) Аналогично находится среднее значение произвольной функции А(x) от случайной величины x (10.4.7) Полная вероятность нахождения случайной величины должна равняться 1. Ей отвечает площадь под всей кривой f(x), отсюда получаем условие нормировки f(x) Зная функцию распределения вероятностей f(x), можно найти среднее значение непрерывной случайной величины (10.4.6) Аналогично находится среднее значение произвольной функции А(x) от случайной величины x (10.4.7)

Рассмотрим идеальный газ. В результате соударений его молекулы находятся в хаотическом движении и беспрерывно меняют направление своих скоростей. Однако в состоянии равновесия в любом направлении движется одинаковое число молекул и устанавливается стационарное распределение молекул по скоростям (Максвелл, 1859 г.). Введем пространство скоростей, в котором каждой молекуле отвечает своя точка. В состоянии равновесия плотность точек в таком пространстве зависит только от модуля скорости и не меняется во времени. Поэтому она является сферически симметричной функцией. Рассмотрим идеальный газ. В результате соударений его молекулы находятся в хаотическом движении и беспрерывно меняют направление своих скоростей. Однако в состоянии равновесия в любом направлении движется одинаковое число молекул и устанавливается стационарное распределение молекул по скоростям (Максвелл, 1859 г.). Введем пространство скоростей, в котором каждой молекуле отвечает своя точка. В состоянии равновесия плотность точек в таком пространстве зависит только от модуля скорости и не меняется во времени. Поэтому она является сферически симметричной функцией Распределение Максвелла

Обозначим плотность точек через f (v) - она равна вероятности того, что модуль скорости молекулы равен значению v в единичном объеме пространства скоростей около v. Если N – полное число молекул в газе, то число молекул, имеющих модуль скорости v в единичном объеме пространства скоростей, равно N f (v). Выделим малый объем dv x dv y dv z вблизи конца вектора скорости. Число молекул, скорости которых находятся внутри этого объема, равно dN(v x,v y,v z ) = N f (v)dv x dv y dv z. Разделив его на полное число молекул N, получим вероятность обнаружения проекций скоростей молекул в интервалах v х ÷ v х + dv х ; v y ÷ v y + dv y ; v z ÷ v z + dv z dP(v х, v y, v z ) = dN(v х, v y, v z )/N = f (v)dv x dv y dv z (10.5.1) Обозначим плотность точек через f (v) - она равна вероятности того, что модуль скорости молекулы равен значению v в единичном объеме пространства скоростей около v. Если N – полное число молекул в газе, то число молекул, имеющих модуль скорости v в единичном объеме пространства скоростей, равно N f (v). Выделим малый объем dv x dv y dv z вблизи конца вектора скорости. Число молекул, скорости которых находятся внутри этого объема, равно dN(v x,v y,v z ) = N f (v)dv x dv y dv z. Разделив его на полное число молекул N, получим вероятность обнаружения проекций скоростей молекул в интервалах v х ÷ v х + dv х ; v y ÷ v y + dv y ; v z ÷ v z + dv z dP(v х, v y, v z ) = dN(v х, v y, v z )/N = f (v)dv x dv y dv z (10.5.1)

Малый объем dv x dv y dv z находится между сферами с радиусами v и v+dv. Объем сферического слоя равен 4 v 2 dv, а число молекул в нем равно dN ´ (v) = N f(v) 4 v 2 dv (10.5.2) Разделив dN ´ (v) на полное число молекул газа N, получим вероятность того, что модуль скорости молекулы имеет значение в интервале v ÷ v + dv dN ´ (v)/N = f(v) 4 v 2 dv = dP(v) Малый объем dv x dv y dv z находится между сферами с радиусами v и v+dv. Объем сферического слоя равен 4 v 2 dv, а число молекул в нем равно dN ´ (v) = N f(v) 4 v 2 dv (10.5.2) Разделив dN ´ (v) на полное число молекул газа N, получим вероятность того, что модуль скорости молекулы имеет значение в интервале v ÷ v + dv dN ´ (v)/N = f(v) 4 v 2 dv = dP(v)

Разделив dP(v) на dv, находим dP(v)/dv = f (v)4 v 2 = F(v) (10.5.3) Функция F(v) - дает вероятность того, что модуль скорости молекулы равен v в единичном интервале скоростей около v. Поэтому, в согласии с (10.4.5), F(v) - и есть функция распределения молекул по скоростям. Найдем ее конкретный вид. Для этого введем в рассмотрение вероятности того, что молекула имеет проекции скоростей в интервалах v х ÷ v х + dv х v y ÷ v y + dv y v z ÷ v z + dv z dP(v х ) = (v х )dv х dP(v y ) = (v y )dv y dP(v z ) = (v z )dv z В силу равноправности движения молекул во всех направлениях вид трех функций (v х ), (v y ), (v z ) должен быть одинаковым. Разделив dP(v) на dv, находим dP(v)/dv = f (v)4 v 2 = F(v) (10.5.3) Функция F(v) - дает вероятность того, что модуль скорости молекулы равен v в единичном интервале скоростей около v. Поэтому, в согласии с (10.4.5), F(v) - и есть функция распределения молекул по скоростям. Найдем ее конкретный вид. Для этого введем в рассмотрение вероятности того, что молекула имеет проекции скоростей в интервалах v х ÷ v х + dv х v y ÷ v y + dv y v z ÷ v z + dv z dP(v х ) = (v х )dv х dP(v y ) = (v y )dv y dP(v z ) = (v z )dv z В силу равноправности движения молекул во всех направлениях вид трех функций (v х ), (v y ), (v z ) должен быть одинаковым.

Кроме того, проекции скоростей v х, v y, v z являются статистически независимыми друг от друга событиями. Поэтому по теореме об умножении вероятностей (10.4.3) получаем, что вероятность нахождения проекций скоростей в интервалах v х ÷ v х + dv х v y ÷ v y + dv y v z ÷ v z + dv z равна dP(v х, v y, v z ) = dP(v х )dP(v y )dP(v z ) = (v х ) (v y ) (v z )dv х dv y dv z Сравнивая с (10.5.1), находим f (v) = (v х ) (v y ) (v z ) (10.5.4) Логарифмируя, получаем ln f = ln (v х )+ ln (v y )+ ln (v z ) Кроме того, проекции скоростей v х, v y, v z являются статистически независимыми друг от друга событиями. Поэтому по теореме об умножении вероятностей (10.4.3) получаем, что вероятность нахождения проекций скоростей в интервалах v х ÷ v х + dv х v y ÷ v y + dv y v z ÷ v z + dv z равна dP(v х, v y, v z ) = dP(v х )dP(v y )dP(v z ) = (v х ) (v y ) (v z )dv х dv y dv z Сравнивая с (10.5.1), находим f (v) = (v х ) (v y ) (v z ) (10.5.4) Логарифмируя, получаем ln f = ln (v х )+ ln (v y )+ ln (v z )

Возьмем частные производные от последнего выражения. Сначала продифференцируем по v х поскольку то В последнем выражении слева и справа стоят функции от разных независимых переменных v и v х. Поэтому их равенство может быть лишь когда они обе равны одной и той же константе. Возьмем частные производные от последнего выражения. Сначала продифференцируем по v х поскольку то В последнем выражении слева и справа стоят функции от разных независимых переменных v и v х. Поэтому их равенство может быть лишь когда они обе равны одной и той же константе.

Обозначая эту константу через -, получаем Данное соотношение является дифференциальным уравнением первого порядка, интегрируем его Обозначая эту константу через -, получаем Данное соотношение является дифференциальным уравнением первого порядка, интегрируем его

Аналогичные выкладки дают выражения для других функций Поэтому Аналогичные выкладки дают выражения для других функций Поэтому

Константу интегрирования С найдем из условия нормировки

Константу найдем из расчета средних значений квадратов проекций скорости Такие же значения имеют и, поэтому Константу найдем из расчета средних значений квадратов проекций скорости Такие же значения имеют и, поэтому

Но ранее, (10.3.2) было получено поэтому Подставляя в функцию, а последнюю в, получаем функцию распределения молекул газа по скоростям, которая называется распределением Максвелла (10.5.5) Но ранее, (10.3.2) было получено поэтому Подставляя в функцию, а последнюю в, получаем функцию распределения молекул газа по скоростям, которая называется распределением Максвелла (10.5.5)

Построим график функции распределения Максвелла для разных температур. Максимум кривой отвечает наиболее вероятной скорости молекул (10.5.6) Построим график функции распределения Максвелла для разных температур. Максимум кривой отвечает наиболее вероятной скорости молекул (10.5.6)

Определим среднеквадратичную скорость молекулы (10.5.7) и среднюю скорость молекулы (10.5.8) Между этими тремя скоростями имеет место пропорция значит из них самая большая - среднеквадратичная скорость молекулы. Определим среднеквадратичную скорость молекулы (10.5.7) и среднюю скорость молекулы (10.5.8) Между этими тремя скоростями имеет место пропорция значит из них самая большая - среднеквадратичная скорость молекулы.

Согласно (10.5.2) и (10.5.3) число молекул в сферическом слое с радиусом v и толщиной dv равно dN(v) = NF(v)dv (10.6.1) Обозначим кинетическую энергию молекулы Т = mv 2 /2 =, тогда Дифференциалы скорости и энергии связаны уравнением d = d(mv 2 /2) = mvdv Подставим эти выражения в исходную формулу (10.6.1). Согласно (10.5.2) и (10.5.3) число молекул в сферическом слое с радиусом v и толщиной dv равно dN(v) = NF(v)dv (10.6.1) Обозначим кинетическую энергию молекулы Т = mv 2 /2 =, тогда Дифференциалы скорости и энергии связаны уравнением d = d(mv 2 /2) = mvdv Подставим эти выражения в исходную формулу (10.6.1) Закон распределения молекул по кинетическим энергиям

Получим где f( ) – функция распределения молекул по кинетическим энергиям (10.6.2) Она равна плотности вероятности того, что молекула имеет энергию. Получим где f( ) – функция распределения молекул по кинетическим энергиям (10.6.2) Она равна плотности вероятности того, что молекула имеет энергию.

Найдем закон изменения давления газа с высотой за счет влияния силы тяжести. Считаем поле тяготения однородным, температуру постоянной, а массы молекул одинаковыми. Разность давлений на высотах h и h+dh равна весу газа, заключенного в объеме цилиндра высотой dh и основанием с площадью 1 м 2 (Р+dP) – P = - gdh dP = - gdh где - плотность газа на высоте h. Найдем закон изменения давления газа с высотой за счет влияния силы тяжести. Считаем поле тяготения однородным, температуру постоянной, а массы молекул одинаковыми. Разность давлений на высотах h и h+dh равна весу газа, заключенного в объеме цилиндра высотой dh и основанием с площадью 1 м 2 (Р+dP) – P = - gdh dP = - gdh где - плотность газа на высоте h Барометрическая формула

Из уравнения состояния идеального газа выразим плотность Тогда Разделяем переменные и интегрируем полученное дифференциальное уравнение Из уравнения состояния идеального газа выразим плотность Тогда Разделяем переменные и интегрируем полученное дифференциальное уравнение

В результате находим Пусть h 1 - высота на уровне моря, а Р 1 – давление на уровне моря. Обозначим Р 0 = Р 1, а через h = h 2 - h 1 – высоту над уровнем моря. Тогда давление газа на высоте h ( Р = Р 2 ) определяется барометрической формулой (10.7.1) Из нее следует, что чем тяжелее газ (больше молярная масса газа М ) и ниже температура Т, тем быстрее давление газа падает с высотой. Барометрическая формула лежит в основе работы альтиметра – прибора для измерения давления, используемого в самолетах. В результате находим Пусть h 1 - высота на уровне моря, а Р 1 – давление на уровне моря. Обозначим Р 0 = Р 1, а через h = h 2 - h 1 – высоту над уровнем моря. Тогда давление газа на высоте h ( Р = Р 2 ) определяется барометрической формулой (10.7.1) Из нее следует, что чем тяжелее газ (больше молярная масса газа М ) и ниже температура Т, тем быстрее давление газа падает с высотой. Барометрическая формула лежит в основе работы альтиметра – прибора для измерения давления, используемого в самолетах.

Согласно уравнению состояния идеального газа P = nkT давление пропорционально концентрации молекул газа n, кроме того из закона Авогадро вытекает равенство где m 0 – масса одной молекулы. Поэтому из барометрической формулы (10.7.1) получаем Поскольку m 0 gh = U – потенциальная энергия молекулы в поле тяготения, то можно записать распределение Больцмана (10.8.1) Распределение Больцмана справедливо для любого потенциального поля, если молекулы газа находятся в состоянии хаотического теплового движения. Согласно уравнению состояния идеального газа P = nkT давление пропорционально концентрации молекул газа n, кроме того из закона Авогадро вытекает равенство где m 0 – масса одной молекулы. Поэтому из барометрической формулы (10.7.1) получаем Поскольку m 0 gh = U – потенциальная энергия молекулы в поле тяготения, то можно записать распределение Больцмана (10.8.1) Распределение Больцмана справедливо для любого потенциального поля, если молекулы газа находятся в состоянии хаотического теплового движения Распределение Больцмана