Выполнил: Махонин Евгений 11 «В»

Из истории На ранних ступенях развития общества люди почти не умели считать. Они отличали друг от друга совокупности двух и трех предметов; всякая совокупность, содержавшая большее число предметов, объединялась в понятии «много». Это был еще не счет, а лишь его зародыш. Впоследствии способность различать друг от друга небольшие совокупности развивалась; возникли слова для обозначений понятий «четыре», «пять», «шесть», «семь». Последнее слово длительное время обозначало также неопределенно большое количество. Наши пословицы сохранили память об этой эпохе («семь раз отмерь – один раз отрежь», «у семи нянек дитя без глазу», «семь бед – один ответ» и т.д.). С усложнением хозяйственной деятельности людей понадобилось вести счет в более обширных пределах. Для этого человек пользовался окружавшими его предметами, как инструментами счета: он делал зарубки на палках и на деревьях, завязывал узлы на веревках, складывал камешки в кучки и т.п. Такой вид счета носит название унарной системы счисления, т.е. Система счисления, в которой для записи числа применяется только один вид знаков. Это удобно, так как сразу визуально определяется количество знаков и сопоставляется с количеством предметов, которые эти знаки обозначают. Все мы ходили в первый класс и считали там на счетных палочках – это отзвук той далекой эпохи. Кстати, от счета с помощью камешков ведут свое начало различные усовершенствованные инструменты, как, например, русские счеты, китайские счеты («сван-пан»), древнеегипетский «абак» (доска, разделенная на полосы, куда клались жетоны). Аналогичные инструменты существовали у многих народов. Более того, в латинском языке понятие «счет» выражается словом «calculatio» (отсюда наше слово «калькуляция»); а происходит оно от слова «calculus», означающего «камешек». С усложнением хозяйственной деятельности людей понадобилось вести счет в более обширных пределах. Для этого человек пользовался окружавшими его предметами, как инструментами счета: он делал зарубки на палках и на деревьях, завязывал узлы на веревках, складывал камешки в кучки и т.п. Такой вид счета носит название унарной системы счисления, т.е. Система счисления, в которой для записи числа применяется только один вид знаков. Это удобно, так как сразу визуально определяется количество знаков и сопоставляется с количеством предметов, которые эти знаки обозначают. Все мы ходили в первый класс и считали там на счетных палочках – это отзвук той далекой эпохи. Кстати, от счета с помощью камешков ведут свое начало различные усовершенствованные инструменты, как, например, русские счеты, китайские счеты («сван-пан»), древнеегипетский «абак» (доска, разделенная на полосы, куда клались жетоны). Аналогичные инструменты существовали у многих народов. Более того, в латинском языке понятие «счет» выражается словом «calculatio» (отсюда наше слово «калькуляция»); а происходит оно от слова «calculus», означающего «камешек». Особо важную роль играл природный инструмент человека – его пальцы. Этот инструмент не мог длительно хранить результат счета, но зато всегда был «под рукой» и отличался большой подвижностью. Язык первобытного человека был беден; жесты возмещали недостаток слов, и числа, для которых еще не было названий, «показывались» на пальцах. Поэтому, вполне естественно, что вновь возникавшие названия «больших» чисел часто строились на основе числа 10 – по количеству пальцев на руках; у некоторых народов возникали также названия чисел на основе числа 5 – по количеству пальцев на одной руке или на основе числа 20 – по количеству пальцев на руках и ногах. Особо важную роль играл природный инструмент человека – его пальцы. Этот инструмент не мог длительно хранить результат счета, но зато всегда был «под рукой» и отличался большой подвижностью. Язык первобытного человека был беден; жесты возмещали недостаток слов, и числа, для которых еще не было названий, «показывались» на пальцах. Поэтому, вполне естественно, что вновь возникавшие названия «больших» чисел часто строились на основе числа 10 – по количеству пальцев на руках; у некоторых народов возникали также названия чисел на основе числа 5 – по количеству пальцев на одной руке или на основе числа 20 – по количеству пальцев на руках и ногах. На первых порах расширение запаса чисел происходило медленно. Сначала люди овладели счетом в пределах нескольких десятков и лишь позднее дошли до сотни. У многих народов число 40 долгое время было пределом счета и названием неопределенно большого количества. В русском языке слово «сороконожка» имеет смысл «многоножка»; выражение «сорок сороков» означало в старину число, превосходящее всякое воображение. На первых порах расширение запаса чисел происходило медленно. Сначала люди овладели счетом в пределах нескольких десятков и лишь позднее дошли до сотни. У многих народов число 40 долгое время было пределом счета и названием неопределенно большого количества. В русском языке слово «сороконожка» имеет смысл «многоножка»; выражение «сорок сороков» означало в старину число, превосходящее всякое воображение. На следующей ступени счет достигает нового предела: десяти десятков, и создается название для числа 100. Вместе с тем слово «сто» приобретает смысл неопределенно большого числа. Такой же смысл приобретают потом последовательно числа тысяча, десять тысяч (в старину это число называлось «тьма»), миллион. На современном этапе границы счета определены термином «бесконечность», который не обозначает какое либо конкретное число. На современном этапе границы счета определены термином «бесконечность», который не обозначает какое либо конкретное число.

Система Счисления - это совокупность приемов наименования и записи чисел. В любой системе счисления для представления чисел выбираются некоторые символы (их называют цифрами), а остальные числа получаются в результате каких-либо операций над цифрами данной системы счисления. Типы Систем Счисления

Непозиционная Система Счисления

Позиционная система счисления Определение Система называется позиционной, если значение каждой цифры (ее вес) изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число. Основание Количество различныхзнаков или символов, используемых для изображения цифр в данной системе. Пример В числе 757,7 первая семёрка означает 7 сотен, вторя - 7 единиц, а третья - 7 десятых долей единицы. Позиционная Система Счисления

Так как непозиционную систему сейчас практически нигде не используют, то рассмотрим подробнее позиционную систему счисления. Позиционная система счисления имеет несколько видов. Рассмотрим наиболее распространённые. ! Позиционная СС система счисления ДВОИЧНАЯДВЕНАДЦАТИРИЧНАЯВОСЬМЕРИЧНАЯ

СложениеВычитаниеУмножение 0+0=00-0=00*0=0 1+0=11-0=11*0=0 0+1=11-1=00*1=0 1+1=1010-1=11*1=1 Двоичная система счисления является основной системой представления информации в памяти компьютера. В этой системе счисления используются цифры: 0, 1. Над числами в двоичной системе счисления можно выполнять арифметические действия. При этом используются следующие таблицы: В компьютерах двоичная система особенно удобна тем, что двоичные цифры соответствуют тому, что электронная система может находиться лишь в одном из двух состояний – либо «выключено» (цепь разомкнута, двоичная цифра 0), либо «включено» (цепь замкнута, двоичная цифра 1). Числа, записанные в двоичной системе, требуют большего числа знаков, чем их аналоги в десятичной системе, но при проектировании компьютеров, предназначенных для работы с числами, не превышающими 10 миллионов, оказалось, что легче оперировать с 24-разрядными двоичными числами (т.е. 24 реле или переключателя типа «вкл.» – «выкл.»), чем с семизначными десятичными числами (реле или переключателями, которые могут находиться в 10 состояниях). И в двоичной, и в десятичной системе суть состоит в позиционном принципе записи чисел, поэтому ясно, что современные суперкомпьютеры стали возможны благодаря тому, что четыре тысячи лет назад в Месопотамии было совершено важнейшее открытие в области обозначения чисел.

Двенадцатеричная система счисления. На ее широкое использование в прошлом явно указывают названия числительных во многих языках, а также сохранившиеся в ряде стран способы отсчета времени, денег и соотношения между некоторыми единицами измерения. Год состоит из 12 месяцев, а половина суток состоит из 12 часов. В русском языке счет часто идет дюжинами, чуть реже гроссами (по 144=122), но в старину использовалось и слово для 1728=123. В английском языке есть особые (а не образованные по общему правилу) слова eleven (11) и twelve (12). Английский фунт состоит из 12 шиллингов. Довольно широкое распространение имела двенадцатеричная система счисления. Происхождение её тоже связано со счётом на пальцах. Считали большой палец руки и фаланги остальных четырёх пальцев: всего их 12. Элементы двенадцатеричной системы счисления сохранилась в Англии в системе мер (1 фут = 12 дюймам) и в денежной системе (1 шиллинг = 12 пенсам). Нередко и мы сталкиваемся в быту с двенадцатеричной системой счисления: чайные и столовые сервизы на 12 персон, комплект носовых платков – 12 штук. В году 12 месяцев, сутки составляют 24 часа=12*2. Это позиционная система счисления с основанием 12. Используются цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B. В другой системе обозначения, для недостающих цифр используют не A и B, а t от (англ. ten десять) и e (от англ. eleven одинадцать).

Восьмеричная система счисления является вспомогательной системой представления информации в памяти компьютера и используется для компактной записи двоичных чисел и команд. В этой системе счисления используются цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 Над числами в восьмеричной системе счисления можно выполнять арифметические действия. Если мы обращаемся к восьмеричной системе счисления, то это означает, что можно использовать гораздо больше цифр, чем это принято в двоичной, но меньше, чем в десятичной, а именно можно оперировать восемью цифрами: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и не более. Логика конвертирования десятичных чисел в восьмеричные (кодирование в восьмеричную систему счисления) совершенно идентична приведенной выше. Более подробная информация в разд. "Запись целых чисел в двоичной системе счисления" данной главы. Действительно, в определенный момент цифры заканчиваются (наступает "кризис переходного периода"). Десятичное число "8" становится восьмеричным числом "10" ("восьмеричной десяткой"). Число "9" будет восьмеричным числом "11", число "10" восьмеричным числом "12". И так далее до десятичного числа "15", которое в восьмеричном виде равно числу "17". А дальше? Цифры снова кончились. Как будет представлено десятичное число "16" в восьмеричной системе счисления? =..., но сумма "78 + 1" равняется "10" в восьмеричной системе счисления, а, следовательно, восьмеричный "десяток" необходимо складывать с "десятком", уже имеющимся, т. е. получается сумма, присутствующая в восьмеричной системе: "1 + 1 = 2". В результате получается, что = 208. Дальше восьмеричное число "21" и т. п., вплоть до восьмеричного числа "77". И только после этого будет восьмеричная "сотня". Представим эту информацию в виде таблицы Представим эту информацию в виде таблицы ТАБЛИЦА

Десятичные числа Восьмеричные числа Десятичные числа Восьмеричные числа

Люди предпочитают десятичную систему счисления, т.к. у них десять пальцев на руках и ногах. Но в Китае, например,долгое время пользовались пятеричной системой счисления.

Двоичная ( 0,1) Восьмеричная(0,1,…,7) Шестнадцатеричная (0,1,…,9,A,B,C,D,E,F) Кроме десятичной используют системы с основанием – степенью числа 2 :

Представление информации посредством двух состояний надёжно и помехоустойчиво ЭВМ используют двоичную систему потому, что она имеет ряд преимуществ: Для её реализации нужны технические элементы с двумя возможными состояниями ( есть ток – нет тока, намагничен – не намагничен и т.п.)

Двоичная система неудобна для человека из-за громоздкости и непривычной записи.Однако, чтобы профессионально использовать ЭВМ, следует научиться понимать слово машины. Для этого и разработаны восьмеричная и шестнадцатеричная системы.

Перевод чисел из двоичной системы в восьмеричную и шестнадцатеричную Перевод восьмеричных и шестнадцатеричных чисел: нужно каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной триадой(тройкой цифр) или тетрадой(четвёркой цифр): Например, 537,1 8 = , A3,F 16 = ,

При переводе десятичного числа в систему с основанием q (q=2, 8, 16) его необходимо последовательно делить на q до тех пор пока не останется остаток, меньший или равный q-1. Число с основанием q записывается как последовательность остатков от деления, записанных в обратном порядке, начиная с последнего.

В двоичную. В восьмеричную. В шестнадцатеричную. Перевести число 75 из десятичной в двоичную, восьмеричную, шестнадцатеричную = =113 8 =4B 16 А для чисел 1 – 20 есть специальная таблица

Полезно запомнить! 10 –я2 – я8 – я16 –я10 –я2 – я8 – я16 –я A B C D E F

Двоичная таблица сложения и умножения 10 – я2 – я8 – я16 – я Таблица сложенияТаблица умножения = = 10 * 0 = 01 * 0 = = =100 * 1 = 01 * 1 = 1 продолжение