«Число, положение и комбинаторика – три взаимно пересекающиеся, но различные сферы мысли, к которым можно отнести все математические идеи» Джозеф Сильвестр (1844 г.) КОМБИНАТОРИКА

Комбинаторика – самостоятельная ветвь математической науки

КОМБИНАТОРИКА - это раздел математики, в котором изучаются простейшие «соединения»: перестановки, размещения, сочетания. (Большой Энциклопедический Словарь) - происходит от латинского слова «combina», что в переводе на русский означает – «сочетать», «соединять».

Разделы комбинаторики : Перечислительная Структурная Вероятностная Топологическая

«Вперед поедешь – голову сложишь, направо поедешь – коня потеряешь, налево поедешь – меча лишишься.

Перестановки – соединения, которые можно составить из n предметов, меняя всеми возможными способами их порядок; число их Число n называется порядком перестановки. Перестановки – соединения, которые можно составить из n предметов, меняя всеми возможными способами их порядок; число их Число n называется порядком перестановки.

n-факториал- это произведение всех натуральных чисел от до единицы до n, обозначают символом ! Используя знак факториала, можно, например, записать: 1! = 1, 2! = 2*1=2, 3! = 3*2*1=6, 4! = 4*3*2*1=24, 5! = 5*4*3*2*1 = 120. Необходимо знать, что 0! = 1

Задача Квартет Проказница Мартышка Осёл, Козёл, Да косолапый Мишка Затеяли играть квартет … Стой, братцы стой! – Кричит Мартышка, - погодите! Как музыке идти? Ведь вы не так сидите… И так, и этак пересаживались – опять музыка на лад не идет. Вот пуще прежнего пошли у них разборы И споры, Кому и как сидеть… Сколькими способами можно рассадить четырех музыкантов?

Решение: Здесь n=4, поэтому способов «усесться чинно в ряд» имеется P = 4! = 1 * 2 * 3 * 4 = 24

Размещения – соединения, содержащие по m предметов из числа n данных, различающихся либо порядком предметов, либо самими предметами; число их Размещения – соединения, содержащие по m предметов из числа n данных, различающихся либо порядком предметов, либо самими предметами; число их

Задача В группе ТД – 21 обучается 24 студента. Сколькими способами можно составить график дежурства по техникуму, если группа дежурных состоит из трех студентов?

Решение задачи: Ответ: число способов равно числу размещений из 24 по 3, т.е способа.

Сочетания – соединения, содержащие по m предметов из n, различающихся друг от друга, по крайней мере, одним предметом; число их Сочетания – соединения, содержащие по m предметов из n, различающихся друг от друга, по крайней мере, одним предметом; число их

Задача Студентам дали список из 10 учебников, которые рекомендуется использовать для подготовки к экзамену. Сколькими способами студент может выбрать из них 3 книги? Сколькими способами студент может выбрать из них 3 книги?

Решение задачи: Ответ: число способов равно числу сочетаний из 10 по 3, т.е. 120 способов.

Библиографическая справка Термины «перестановки» и «размещения» впервые употребил Якоб Бернулли в книге «Искусство предположений». Термин «сочетания»впервые встречается у Блеза Паскаля в 1665 году.

Особая примета комбинаторных задач - вопрос, который начинался словами «Сколькими способами…?» Особая примета комбинаторных задач - вопрос, который начинался словами «Сколькими способами…?»

Решение задач: Задача 1: В соревнованиях участвуют 12 команд. Сколько существует вариантов распределения призовых (I, II, III) мест? Задача 2: Студенты Женя, Сергей, Коля, Наташа и Ольга побежали на перемене к теннисному столу, за которым уже шла игра. Сколькими способами подбежавшие студенты могут занять очередь для игры в настольный теннис? Задача 3: В 9 классе учатся 7 учеников, в 10 – 9, а в 11 – 8 учеников. Для работы на пришкольном участке надо выделить двух учеников из 9 класса, трех – из 10 класса и одного – из 11 класса. Сколько существует способов выбора учеников для работы на пришкольном участке? Решение задач: Задача 1: В соревнованиях участвуют 12 команд. Сколько существует вариантов распределения призовых (I, II, III) мест? Задача 2: Студенты Женя, Сергей, Коля, Наташа и Ольга побежали на перемене к теннисному столу, за которым уже шла игра. Сколькими способами подбежавшие студенты могут занять очередь для игры в настольный теннис? Задача 3: В 9 классе учатся 7 учеников, в 10 – 9, а в 11 – 8 учеников. Для работы на пришкольном участке надо выделить двух учеников из 9 класса, трех – из 10 класса и одного – из 11 класса. Сколько существует способов выбора учеников для работы на пришкольном участке?

Исторические сведения Комбинаторика как наука стала развиваться в XIII в. параллельно с возникновением теории вероятностей. Первые научные исследования по этой теме принадлежат итальянским ученым Дж. Кардано, Н. Чарталье ( ), Г. Галилею ( ) и французским ученым Б.Пискамо ( ) и П. Ферма. Комбинаторику, как самостоятельный раздел математики, первым стал рассматривать немецкий ученый Г. Лейбниц в своей работе «Об искусстве комбинаторики», опубликованной в 1666г. Он также впервые ввел термин «Комбинаторика».

Исторические сведения Дата рождения: 1 июля 1646 г. Место рождения: Лейпциг, Германия Дата смерти:14 ноября 1716 г. Место смерти: Ганновер, Германия Школа/традиция: рационализм Направление: Европейская философия Основные интересы: Метафизика, эпистемология, наука, математика. Лейбниц Готфрид Вильгельм

Связь комбинаторики с другими областями математики: Связь комбинаторики с другими областями математики: Имеет широкий спектр применения в информатике и статистической физике алгебра, геометрия, теория вероятностей.

Фигурные числа. Солдаты стоят правильными рядами, образуя квадраты. Число солдат внутри такого квадрата легко подсчитать – нужно умножить их число вдоль горизонтальной стороны на число солдат вдоль горизонтальной стороны на число солдат вдоль вертикальной стороны (причем эти числа равны), и получим общее количество солдат внутри квадрата

Фигурные числа В древности вычислители часто считали с помощью камешков и, естественно, отмечали случаи, когда камешки можно было сложить в виде правильной фигуры. Кроме квадратных чисел были известны и треугольные числа, которые получаются так как показано на рисунке.

Комбинаторика в различных областях жизнедеятельности человека. Литература Былины Сказки_ Басни__

Электротехника В коридоре висят три лампочки. Сколько имеется лампочки. Сколько имеется различных способов освещения коридора ? различных способов освещения коридора ?

Государственная символика

Несколько стран в качестве символа своего государства решили использовать флаг в виде трёх горизонтальных полос одинаковых по ширине, но разных по цвету: белый, синий, красный. Сколько стран могут использовать такую символику, при условии, что у каждой страны свой отличный от других стран флаг? Ответ:6.

Игра Шахматы Выдающиеся шахматисты Клод Шеннон и Михаил Ботвинник внесли огромный вклад в создание математической модели шахматной игры и способствовали прогрессу в интеллектуализации программ для нее. Компьютерные шахматы едва ли не самый убедительный пример за полвека развития информационных технологий, когда именно в интеллектуальной деятельности автомат успешно соперничает с человеком.

Игра Кубик Рубика Необыкновенно популярной головоломкой стал кубик Рубика, изобретенный в 1975 году преподавателем архитектуры из Будапешта Эрне Рубиком для развития пространственного воображения у студентов. Лучшее время, показанное на чемпионате мира 1982 г. по скоростной сборке кубика Рубика, составило всего 22,95 секунды. Кубик Рубика служит не только развлечением, но и прекрасным наглядным пособием по комбинаторике.

Меню на завтрак На завтрак Вова может выбрать: плюшку, бутерброд, пряник, или кекс, а запить он может: кофе, соком, кефиром. Сколько возможных вариантов завтрака?

ГИПОТЕЗА Комбинаторика интересна и имеет широкий спектр практической направленности.

ВЫВОД Комбинаторика имеет огромное значение в различных областях науки и производственной сферы. С комбинаторными величинами приходится иметь дело представителям многих специальностей: ученому – химику, биологу, конструктору, диспетчеру и т.п. Комбинаторика используется в литературе, математике, музыке, в различных играх (нарды, шашки, шахматы). В каждой из этих игр приходится рассматривать различные сочетания фигур, и выигрывает тот, кто их лучше изучает, знает выигрышные комбинации и умеет избегать проигрышных.

ВЫВОД Усиление интереса к комбинаторике в последнее время обуславливается бурным развитием кибернетики Рассмотрев использование комбинаторики в различных сферах жизнедеятельности, мы узнали о практической значимости комбинаторики как области математики. Комбинаторика помогает развивать математические способности, сообразительность, логическое мышление, укрепляют память. Таким образом, мы не только подтвердили гипотезу, что комбинаторика – это раздел математики, имеющий широкий спектр практической направленности, но и расширили диапазон своих знаний.