Биссектрисы треугольника Выполнила ученица 9 «Б» класса Средней школы 36 Скороход Алина Учитель Молькова И.П. Г.Владимир 2007

Биссектриса Геометрическое место точек, равноудалённых от сторон угла. Биссектриса угла - луч, исходящий из вершины угла, и делящий его на две равные части. Биссектриса треугольника – отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны.

Теорема 1 В равнобедренном треугольнике равны биссектрисы углов при основании.

Теорема 2 Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки пропорциональные двум другим сторонам. Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки пропорциональные двум другим сторонам. Доказательство. Пусть AD биссектриса треугольника ABC. Проведем прямые СЕ и BF, параллельные прямой AD(Е – точка на прямой АВ). Согласно обобщению теоремы Фалеса. Докажем, что АЕ = АС. Для этого заметим, что 1 = 2, 3= 1, 4= 2, откуда следует, что 3= 4. Таким образом, треугольник АЕС равнобедренный, поэтому АЕ = АС. Следовательно,. Что и требовалось доказать.

Теорема 3 Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Доказательство. Пусть АА1,ВВ1,СС1 - биссектрисы треугольника АВС. Воспользуемся тем, что обозначим буквой О точку пересечения биссектрис в треугольнике АВС и проведём из этой точки перпендикуляры ОК, ОL,ОМ соответственно к прямым АВ, ВС, и СА. ОК=ОМ и ОК=ОL(по теореме о точках биссектрисы).Поэтому ОМ=ОL, т.е.точка О равноудалена от сторон угла АСВ и, значит, лежит на биссектрисе СС1 этого угла. Следовательно, все биссектрисы треугольника АВС пересекаются в точке. О. Что и требовалось доказать.

Теорема 4 Каждая точка биссектрисы неразвёрнутого угла равноудалена от его сторон.

Теорема 5 Каждая точка, лежащая внутри угла и равноудалённая от сторон угла, лежит на его биссектрисе

Терема 6 Точка пересечения биссектрис является центром вписанной в треугольник окружности.

Теорема 7 Продолжение биссектрисы треугольника, проведённой из одной вершины, пересекается с биссектрисами внешних углов при двух других вершинах в одной точке. Эта точка является центром вневписанной окружности этого треугольника. Доказательство. Рассмотрим произвольный треугольник ABC. Проведем биссектрису AD. Затем продолжим эту биссектрису за точку D до пересечения в точке О с биссектрисой внешнего угла при вершине В. Поскольку точка О лежит на биссектрисе угла А, то она равноудалена от прямых АВ и АС (по определению биссектрисы). Так как ВО - биссектриса угла В, то она равноудалена от прямых АВ и ВС (по определению биссектрисы). Следовательно, она равноудалена от прямых АС и ВС, а, значит, лежит на биссектрисе внешнего угла при вершине С (по определению биссектрисы). Итак, продолжение биссектрисы треугольника проведенной из одной из вершин, пересекается с биссектрисами внешних углов при двух других вершинах в одной точке. Поскольку точка О равноудалена от сторон внешних углов при вершинах В и С, то окружность с центром в точке О, касающаяся стороны ВС, касается и продолжений сторон АВ и АС. Эта окружность называется вневписанной окружностью треугольника ABC.

Следствие Любой треугольник имеет три вневписанные окружности

Теорема 8 В подобных треугольниках отношение сходственных биссектрис равно коэффициенту подобия.

Построение биссектрисы задача 1. Рассмотрим угол с вершиной А. Проведем окружность произвольного радиуса с центром в А. Обозначим через В и С точки ее пересечения со сторонами угла Теперь построим две пересекающиеся окружности равного Радиуса с центрами в В и С. Возьмем точку их пересечения, лежащую внутри угла. Обозначим ее буквой D. Треугольники ABD и ACD равны по трем сторонам. Значит, равными являются углы BAD и CAD. Луч AD является биссектрисой нашего угла.

Построение биссектрисы задача 2. Для построения биссектрисы произвольного угла М на его сторонах откладываем отрезки МА = МВ, AC=BD, как показано на рисунке и проводим отрезки AD и BC. Затем проводим искомый луч ME, где Е точка пересечения отрезков AD и BC.

ПРИ СОЗДАНИИ ПРЕЗЕНТАЦИИ ИСПОЛЬЗОВАЛИСЬ: Литература: Г. Коксетер; С. Магдональд. «Новые встречи с геометрией».М. – Просвещение 1978г. В.Г. Житомирский «Путешествие по стране геометрии». М. – Педагогика. 1991г. Л.С. Атанасян; В.Ф. Бутузов. Геометрия. Дополнительные главы к школьному учебнику 8 класса. Учебное пособие для учащихся школ с углублённым изучением математики. М. – Просвещение 1996г. А.И. Фетисов. Геометрия в задачах. Пособие для учащихся школ и классов с углублённым теоретическим и практическим изучением математики. М. – Просвещение 1977г. Программное обеспечение: AutoCAD CorelDraw PowerPoint