Применение линейного программирования в математических моделях (с) Н.М. Светлов, / 23 Лекция 3. Применение линейного программирования в математических моделях Содержание лекции: 1. Принцип оптимальности в планировании и управлении Принцип оптимальности в планировании и управлении Принцип оптимальности в планировании и управлении 2. Задача линейного программирования Задача линейного программирования Задача линейного программирования 3. Симплексный метод Симплексный метод Симплексный метод 4. Экономические приложения линейного программирования Экономические приложения линейного программирования Экономические приложения линейного программирования 5. Программное обеспечение линейного программирования Программное обеспечение линейного программирования Программное обеспечение линейного программирования

Применение линейного программирования в математических моделях (с) Н.М. Светлов, / 23 Литература Экономико-математические методы и прикладные модели: Учеб. пособие для вузов / Под ред. В.В. Федосеева. 2-е изд. М.: ЮНИТИ-ДАНА, глава 2. Экономико-математические методы и прикладные модели: Учеб. пособие для вузов / Под ред. В.В. Федосеева. 2-е изд. М.: ЮНИТИ-ДАНА, глава 2. Вентцель Е.С. Исследование операций: Задачи, принципы, методология. М.: Высшая школа, Вентцель Е.С. Исследование операций: Задачи, принципы, методология. М.: Высшая школа, Канторович Л.В. Экономический расчёт наилучшего использования ресурсов. М.: Изд-во АН СССР, Канторович Л.В. Экономический расчёт наилучшего использования ресурсов. М.: Изд-во АН СССР, Светлов Н.М., Светлова Г.Н. Построение и решение оптимизационных моделей средствами программ MS Excel и XA: Методические указания для студентов экономического факультета / РГАУ – МСХА имени К.А. Тимирязева. М., Светлов Н.М., Светлова Г.Н. Построение и решение оптимизационных моделей средствами программ MS Excel и XA: Методические указания для студентов экономического факультета / РГАУ – МСХА имени К.А. Тимирязева. М.,

Применение линейного программирования в математических моделях (с) Н.М. Светлов, / Принцип оптимальности в планировании и управлении Принцип оптимальности предполагает следующее: Принцип оптимальности предполагает следующее: наличие определённых ресурсов наличие определённых ресурсов наличие определённых технологических возможностей наличие определённых технологических возможностей цель хозяйственной деятельности цель хозяйственной деятельности извлечение прибыли извлечение прибыли удовлетворение потребностей удовлетворение потребностей предотвращение угрозы предотвращение угрозы накопление знаний накопление знаний и т.д. и т.д. Суть принципа: Суть принципа: планировать хозяйственную деятельность таким образом, чтобы при имеющихся ресурсах и технологиях не существовало способа достичь цели в большей степени, чем это предусматривает план планировать хозяйственную деятельность таким образом, чтобы при имеющихся ресурсах и технологиях не существовало способа достичь цели в большей степени, чем это предусматривает план В полной мере этот принцип может быть реализован только с помощью экономико-математических моделей В полной мере этот принцип может быть реализован только с помощью экономико-математических моделей

Применение линейного программирования в математических моделях (с) Н.М. Светлов, / Задача линейного программирования Это развёрнутая форма записи Это развёрнутая форма записи Линейная целевая функция Линейные ограни- чения Условия неотрицательности переменных

Применение линейного программирования в математических моделях (с) Н.М. Светлов, / Задача линейного программирования Это каноническая форма записи Это каноническая форма записи Линейная целевая функция Линейные ограни- чения Условия неотрицательности переменных Любую ЗЛП можно записать в каноническом виде (ограничения – равенства, свободные члены неотрицательны, решается на максимум)

Применение линейного программирования в математических моделях (с) Н.М. Светлов, / Задача линейного программирования Это матричная форма записи Это матричная форма записи Она тождественна канонической формеОна тождественна канонической форме Линейная целевая функция Линейные ограни- чения Условия неотрицательности переменных

Применение линейного программирования в математических моделях (с) Н.М. Светлов, / Задача линейного программирования Это стандартная форма записи Это стандартная форма записи Линейная целевая функция Линейные ограни- чения Условия неотрицательности переменных

Применение линейного программирования в математических моделях (с) Н.М. Светлов, / Любой вектор x, удовлетворяющий ограничениям и условиям неотрицательности (безотносительно к целевой функции), называется допустимым решением Любой вектор x, удовлетворяющий ограничениям и условиям неотрицательности (безотносительно к целевой функции), называется допустимым решением Если допустимых решений не существует, говорят, что система ограничений несовместна Если допустимых решений не существует, говорят, что система ограничений несовместна Областью допустимых решений (ОДР) называется множество, включающее все допустимые решения данной ЗЛП Областью допустимых решений (ОДР) называется множество, включающее все допустимые решения данной ЗЛП Допустимое решение x *, доставляющее наибольшее значение целевой функции среди всех допустимых решений данной ЗЛП, называется оптимальным решением Допустимое решение x *, доставляющее наибольшее значение целевой функции среди всех допустимых решений данной ЗЛП, называется оптимальным решением часто его называют просто решением ЗЛП часто его называют просто решением ЗЛП

Применение линейного программирования в математических моделях (с) Н.М. Светлов, / ЗЛП может: ЗЛП может: не иметь ни одного оптимального решения не иметь ни одного оптимального решения допустимой области не существует – система ограничений не совместнадопустимой области не существует – система ограничений не совместна z = max(x 1 +x 2 |x 1 +5x 2 1, x 1 +x 2 5, x 1 0, x 2 0) допустимая область существует, но не ограничивает целевую функциюдопустимая область существует, но не ограничивает целевую функцию z = max(2x 1 +x 2 |0.1x x 2 5, x 1 0, x 2 0) иметь одно оптимальное решение иметь одно оптимальное решение z = max(x 1 +x 2 |0.1x x 2 5, x 1 0, x 2 0) x 1 =50, x 2 =0; z = 50 иметь бесконечно много оптимальных решений иметь бесконечно много оптимальных решений z = max(x 1 +x 2 |0.1x x 2 5, x 1 0, x 2 0) x 1 =50, x 2 =0; z = 50 … x 1 =0, x 2 =50; z = 50 Компактная запись

Применение линейного программирования в математических моделях (с) Н.М. Светлов, / z = max(x 1 +x 2 |0.1x x 2 5, x 1 0, x 2 0) x 1 =50, x 2 =0; z = 50

Применение линейного программирования в математических моделях (с) Н.М. Светлов, / z = max(x 1 +x 2 |0.1x x 2 5, x 1 0, x 2 0) x 1 =50, x 2 =0; z = 50 … x 1 =0, x 2 =50; z = 50

Применение линейного программирования в математических моделях (с) Н.М. Светлов, / z = max(x 1 +x 2 |x 1 +5x 2 1, x 1 +x 2 5, x 1 0, x 2 0) Несовместность системы ограничений

Применение линейного программирования в математических моделях (с) Н.М. Светлов, / z = max(2x 1 +x 2 |0.1x x 2 5, x 1 0, x 2 0) Неограниченность целевой функции

Применение линейного программирования в математических моделях (с) Н.М. Светлов, / Симплексный метод Исходные условия применения симплексного метода Исходные условия применения симплексного метода 1. ЗЛП записана в канонической форме 2. Её ограничения линейно независимы 3. Известно опорное решение, в котором: имеется не более m ненулевых переменных имеется не более m ненулевых переменных задача содержит n переменных и m ограниченийзадача содержит n переменных и m ограничений все ограничения выполняются все ограничения выполняются 4. n–m переменных называемых свободныминазываемых свободными выражены через m переменных называемых базисныминазываемых базисными в числе которых все ненулевые 5. Результат этой процедуры записан в начальную (первую, исходную) симплексную таблицу

Применение линейного программирования в математических моделях (с) Н.М. Светлов, / z = max(x 1 +x 2 |0.1x x 2 5, x 1 –2x 2 75, x 1 0, x 2 0) x 1 =50, x 2 =0; z = 50 Каноническая форма: max x 1 +x 2 0.1x x 2 +x 3 = 5 x 1 –2x 2 +x 4 = 75 x 1 0, x 2 0, x 3 0, x 4 0 j =1 j = 2 j = 3 i =1 j = 4 i =2 b c j, c i c j, c i i = i =

Применение линейного программирования в математических моделях (с) Н.М. Светлов, / 23 В таблице выделены жирным шрифтом 3.3. Разрешающий столбец: Разрешающий столбец: столбец с наибольшим положительным c j столбец с наибольшим положительным c j если положительного c j нет, достигнут оптимумесли положительного c j нет, достигнут оптимум Разрешающая строка: Разрешающая строка: для всех положительных a ij в выбранном столбце считаем b i /a ij для всех положительных a ij в выбранном столбце считаем b i /a ij если положительных нет, ц.ф. не ограниченаесли положительных нет, ц.ф. не ограничена выбираем строку, где это значение минимально выбираем строку, где это значение минимально j =1 j = 2 j = 3 i =1 j = 4 i =2 b c j, c i c j, c i i = i =

Применение линейного программирования в математических моделях (с) Н.М. Светлов, / Выполняем обыкновенные жордановы исключения во всей таблице: Выполняем обыкновенные жордановы исключения во всей таблице: для строк i i' : a ijнов = a ij – a i'j a ij' /a i'j', где для строк i i' : a ijнов = a ij – a i'j a ij' /a i'j', где i' и j' – координаты выбранных (разрешающих) строки и столбца для строки i =i' : a ijнов = a ij /a i'j' для строки i =i' : a ijнов = a ij /a i'j' j =1 i =1 (50) j = 2 (0) j = 3 (0) j = 4 i =2 (25) b c j, c i c j, c i i = i = Положительных c j больше нет – достигнут оптимум (в больших задачах для этого требуются тысячи итераций)

Применение линейного программирования в математических моделях (с) Н.М. Светлов, / Опорное решение может быть получено по следующей процедуре: Опорное решение может быть получено по следующей процедуре: 1. Выбираем произвольный набор базисных переменных и выражаем их через свободные 2. Если строк с отрицательными свободными членами нет – опорное решение получено; иначе – п Одну из таких строк выбираем в качестве вспомогательной целевой функции и проводим по ней процедуру решения на минимум, используя алгоритм симплекс-метода Если в качестве разрешающей выбирается строка с отрицательным свободным членом, то разрешающий элемент тоже должен быть отрицательным Если в качестве разрешающей выбирается строка с отрицательным свободным членом, то разрешающий элемент тоже должен быть отрицательным для всех a ij в выбранном столбце считаем b i /a ijдля всех a ij в выбранном столбце считаем b i /a ij наименьшее положительное значение этого отношения указывает разрешающую строкунаименьшее положительное значение этого отношения указывает разрешающую строку –если положительных нет, выбираем другую строку с отрицательным свободным членом в качестве вспомогательной целевой функции –если таковых не находится, опорных решений не существует (целевая функция не ограничена множеством допустимых решений) 4. Если оптимум достигнут при отрицательном свободном члене – система ограничений несовместна; иначе – п.5 5. Как только достигнуто положительное значение свободного члена, переходим к п.2.

Применение линейного программирования в математических моделях (с) Н.М. Светлов, / В некоторых случаях алгоритм симплексного метода может зацикливаться. Пути преодоления этой проблемы описаны в рекомендуемой литературе.

Применение линейного программирования в математических моделях (с) Н.М. Светлов, / Экономические приложения линейного программирования Матрица потребности в ресурсах для обеспечения единичного объёма производства в каждой отрасли. Строки – ресурсы, столбцы – отрасли. Объёмы невоспроизводимых ресурсов (земельные угодья, трудовые ресурсы, запасы полезных ископаемых и т.п.), имеющиеся в распоряжении народного хозяйства Матрица затрат (+) и выпуска (-) ресурсов при единичном объёме производства в каждой отрасли. Строки – ресурсы, столбцы – отрасли. Вектор, состоящий из нулей Матрица выпуска (+) конечной продукции при единичном объёме производства в каждой отрасли. Строки – виды продукции, столбцы – отрасли. Вектор объёмов потребления каждого вида конечной продукции при единичном (стандартном) уровне удовлетворения потребностей

Применение линейного программирования в математических моделях (с) Н.М. Светлов, / Экономические приложения линейного программирования Вектор цен продукции (за вычетом НДС), руб./ед. Вектор цен ресурсов (включая НДС), руб./ед. Матрица затрат ресурсов на производство и реализацию единицы продукции, ед.рес./ед.прод. Вектор наличия (начальных запасов) ресурсов Матрица объёмов обязательств, выполняемых вследствие реализации единицы продукции каждого вида Объёмы обязательств, имеющихся у предприятия и учитываемых при оптимальном планировании (выполнение которых зависит от составленного плана)

Применение линейного программирования в математических моделях (с) Н.М. Светлов, / Программное обеспечение линейного программирования Запуск решения – [Ctrl]+[x] Найти XA Найти XA

Применение линейного программирования в математических моделях (с) Н.М. Светлов, / Два способа установки XA Два способа установки XA Если есть права доступа к каталогу C:\WINDOWS Если есть права доступа к каталогу C:\WINDOWS копируем туда файлы CXA32.DLL и CAXA32.DLL копируем туда файлы CXA32.DLL и CAXA32.DLL Иначе Иначе копируем файлы CXA32.DLL и CAXA32.DLL в ту папку, в которой решаем модель копируем файлы CXA32.DLL и CAXA32.DLL в ту папку, в которой решаем модель после вызова файла модели нажимаем кнопку и указываем расположение любого из этих файлов после вызова файла модели нажимаем кнопку и указываем расположение любого из этих файлов это действие повторяется при каждом вызове Excelэто действие повторяется при каждом вызове Excel Антивирус Касперского блокирует выполнение XA Антивирус Касперского блокирует выполнение XA При первом вызове программы следует в ответ на предупреждение антивируса дать ему указание разрешать выполнение данной программы При первом вызове программы следует в ответ на предупреждение антивируса дать ему указание разрешать выполнение данной программы Найти XA Найти XA