Поверхностные модели построенные по кинематическому принципу Поверхность вращения Поверхность соединения – линейчатая поверхность Поверхность перемещения – заметающая поверхность,sweep и lofting поверхности

Поверхность вращения Может быть построена в результате вращения двумерного объекта (прямая, плоская кривая) вокруг оси в пространстве Рассмотрим основные типы геометрических моделей, построенных на основе вращения

Вращение точки вокруг одной из координатных осей или произвольной прямой Результат построения – окружность

Отрезок и ось вращения компланарны и параллельны друг другу Результат построения – цилиндрическая поверхность или твердотельный цилиндр

Отрезок и ось вращения компланарны, но не параллельны друг другу Результат построения – коническая поверхность или твердотельный конус

Отрезок и ось вращения компланарны, отрезок перпендикулярен оси вращения Результат построения: Плоский диск, если отрезок доходит до оси вращения Диск с отверстием если диск не доходит до оси вращения

Отрезок и ось вращения не компланарны Результат построения - однополостный гиперболоид

Вращение половины окружности вокруг оси, лежащей в той же плоскости и проходящей через ее центр. Результат построения – поверхностная или твердотельная сфера

Вращение половины эллипса вокруг оси, лежащей в той же плоскости и совпадающей с одной из его осей Результат построения – поверхностный или твердотельный эллипс

Вращение окружности вокруг оси, лежащей с ней в одной плоскости и не пересекающей ее Результат построения - поверхностный или твердотельный тор

Математические основы построения поверхности вращения Поверхность вращения помимо самостоятельной трехмерной поверхностной модели может быть основой для построения оболочки твердого тела. Точки на поверхности задаются тремя координатами, каждая из которых является функцией параметра t: p(t)=[x(t),y(t),z(t)] В общем виде функция Q(t,q), описывающая поверхность вращения, зависит от двух переменных: параметра t и угла поворота q.

Рассмотрим математическое описание поверхности вращения вокруг оси X. Q(t,q)=[x(t), y(t)cos(q),y(t)sin(q)] Пояснения к данному выражению даны на на рисунке.

Данное математическое выражение поверхности вращения можно представить в матричном виде следующим образом.

Поворот относительно оси, не совпадающей ни с одной из координатных осей Решение задачи путем сведения ее к более простой – поворот относительно одной из координатных осей (например с осью X). Для этого необходимо выполнить следующие преобразования: Перенос точки на оси в начало координат Выполнить необходимые повороты для совмещения оси с осью Z. Повернуть вокруг оси y на угол 90 0 для совмещения исходной оси с осью X. Выполнить поворот относительно оси X Выполнить обратные преобразования

Линейчатая поверхность Линейчатая поверхность получается с помощью линейного интерполирования между двумя граничными кривыми. Другое название такой поверхности – плазовая, поверхность соединения. Математически линейная поверхность описывается следующим образом:

Пример линейчатой поверхности

Простейшая заметающая поверхность (поверхность перемещения ) Заметающая поверхность получается в результате перемещения кривой вдоль другой кривой в пространстве. Заметающее преобразование в случае перемещения кривой вдоль отрезка прямой длиной n, параллельной оси Z: математическое выражение для простейшей заметающей поверхности:

Способы описания sweep и lofting поверхностей Простые sweep поверхности Описание с помощью математических выражений, с использованием матричных преобразований (аналогично поверхности вращения) Сложные sweep и lofting поверхности 1. Использование дополнительных кривых при построении поверхности 2. Использование числа сечений, больше двух 3. Усложнение алгоритма перемещения вдоль образующей кривой

Требования к протянутым поверхностям протягивание профиля по сложной траектории; изменение ориентации профиля при протягивании; для формирования сложных поверхностей необходимо предусмотреть возможность искривления поверхности в пространстве; смешивание профилей (в случае, если их больше одного).

Компоненты sweep и lofting поверхностей Профиль кривой – profil - Определяет форму поперечного сечения поверхности Образующая кривая - guide - Контролирует траекторию протягивания профиля. Используется или кривая, или край поверхности. Направляющая кривая - spine -Контролирует ориентацию плоскостей сечения поверхности в процессе протягивания. Цель –искривление поверхности

Ориентация профиля -Размещение профиля в плоскости сечения с учетом системы координат. Направление ссылки - Определяет направление оси Х при ориентации профиля. Цель– дополнительные возможности для искривления поверхности в пространстве. Фактор смешивания - Для построения поверхности по двум и более профилям. Масштабирование - Возможность построения большого разнообразия поверхностей при использовании одинаковых guide и spine кривых.

Принципы построения sweep поверхностей Направляющая кривая - spine кривая, при построении sweep поверхностей служит для определения плоскостей сечения, в которых размещаются профили при протягивании. Плоскость сечения расположена перпендикулярно касательной к направляющей кривой в текущей точке.

Определение расположения профиля в плоскости сечения построить текущую плоскость сечения, плоскость строится перпендикулярно касательной в точке на spine кривой ; найти пересечение полученной плоскости с guide кривой, эта точка является начальной точкой размещения профиля, располагающегося в текущей плоскости сечения.

Кривая ссылки и ориентация профиля Кривая ссылки позволяет определить направление оси Х при размещении профиля. Ось Х получается в результате соединения точек пересечения текущей плоскости с кривой ссылки и guide –кривой – поворот профиля в прстранстве. параметр, определяющей ориентацию профиля позволяет при необходимости выполнить отражение прфиля по отношению к оси Х

Основные принципы построения Lofting - поверхностей Протянутыми lofting –поверхностями называют поверхности, полученные путем смешивания одного или более профилей в одном направлении вдоль одной или более образующих кривых. Lofting – поверхность можно рассматривать, как объединение нескольких профилей вдоль одной или нескольких образующих.

Преимущества использования нескольких guide – кривых возможность построения протягиваемых профилей в процессе построения поверхности дополнительные образующие кривые позволяют увеличивать число вариантов протягиваемых поверхностей при одинаковых исходных данных – масштабирование профиля в процессе протягивания различные положения образующих кривых в пространстве влияют на результирующую поверхность, guide кривая здесь может выполнять ту же роль, что и кривая ссылки в sweep поверхностях

Способы построения Lofting - поверхностей Задан один профильБез масштабированияС масштабированием Общее масштабирование Однородное масштабирование Х-масштабирование Х-однородное масштабирование Без предварительно заданного профиля Задано несколько профилей – построение поверхности в результате смешивания профилей

Математические задачи, решаемые при построении lofting и sweep поверхностей Определение уравнения плоскости, перпендикулярной к касательной.(нормаль к плоскости совпадает с касательной к spine кривой) Поиск пересечения кривой и плоскости (можно использовать принцип кусочно-линейной аппроксимации кривой) Построение кривым по заданным точкам (интерполяция или аппроксимация) Поиск масштабного коэффициента - расстояние между двумя точками Влияние фактора смешивания на вид кривой в текущей плоскости сечения (фактор смешивания = 0, линейный закон смешивания профилей)

Creo Parametric (Pro/E). Способы построения геометрических моделей по кинематическому принципу Extrude - простое выдавливание профиля по нормали Revolve – вращение профиля вокруг оси Sweep – перемещение одного профиля вдоль образующей Blend – соединение двух или более профилей с заданным способом сглаживания Swept Blend - смешивание двух профилей вдоль образующей Variable Section Sweep – протягивание профиля вдоль образующей с возможным изменением профиля в плоскости сечения

Использование команд Variable Section Sweep и команды Curve

Использование команды Blend

Использование команд Sweep, Extrude, Revolve