Комбинации многогранников и тел вращения Таск Ксения, 11 «Б»

Вписанный многогранник, описанная сфера Многогранник называется вписанным в сферу, а сфера – описанной около многогранника, если все вершины многогранника лежат на сфере.

Призма, вписанная в шар а а1 Случаи: 1) Если призма наклонная, то а||а1, точки пересечения не существует. 2) Если призма прямая, то а и а1 совпадают, центр описанной сферы- середина отрезка, соединяющего центры окружностей, описанных около оснований. Множество точек, равноудалённых от вершин нижнего основания- прямая, проходящая через центр описанной около неё окружности перпендикулярно плоскости основания (а) Аналогично в случае верхнего основания (а1)

ВЫВОД : Около призмы можно описать шар тогда и только тогда, когда эта призма прямая, и около её основания можно описать окружность. Следствия: 1) около любой правильной призмы можно описать шар; 2) около любой прямой треугольной призмы можно описать шар.

Пирамида, вписанная в шар Множество точек, равноудалённых от вершины основания- это прямая, перпендикулярная плоскости основания и проходящая через центр описанной около неё окружности. Множество точек, равноудалённых от концов бокового ребра есть плоскость, перпендикулярная к ребру и проходящая черед его середину. вписанная в шар пирамида

ВЫВОД : Около пирамиды можно описать шар тогда и только тогда, когда около её основания можно описать окружность. Следствия: Около любого тетраэдра можно описать шар; Около пирамиды можно описать шар, если её боковые рёбра равны, или её боковые рёбра одинаково наклонены к основанию. В ПОСЛЕДНЕМ СЛУЧАЕ ЦЕНТР ОПИСАННОГО ШАРА ЛЕЖИТ НА ПРЯМОЙ, СОДЕРЖАЩЕЙ ВЫСОТУ ПИРАМИДЫ!

Теорема Через окружность и точку, не принадлежащую этой окружности, можно провести сферу, и притом только одну.

Центр сферы, описанной около пирамиды, лежит в точке пересечения перпендикуляра к плоскости основания, проведённого через центр окружности, описанной около основания, и плоскости, перпендикулярной любому боковому ребру, проведённой через середину этого ребра.

Шар, вписанный в призму Шар называется вписанным в многогранник, если он касается всех его граней

Теоремы : В призму можно вписать шар тогда и только тогда, когда в перпендикулярное сечение этой призмы можно вписать окружность, а высота призмы равна диаметру этой окружности Шар можно вписать в прямую призму тогда и только тогда, когда в основание призмы можно вписать окружность, а высота призмы равна диаметру этой окружности

Центр шара Центр шара, вписанного в призму, лежит на прямой, проведённой параллельно боковым рёбрам через центр окружности, вписанной в перпендикулярное сечение, и является серединой отрезка, отсекаемого но этой прямой основаниями призмы. Центр шара, вписанного в прямую призму, лежит на середине высоты призмы, проходящей через центр окружности, вписанной в основание.

Шар, вписанный в пирамиду Теорема: если боковые грани пирамиды одинаково наклонены к основанию, то в такую пирамиду можно вписать шар.

Центр шара Центр шара, вписанного в пирамиду, лежит в точке пересечения высоты пирамиды с биссектрисой линейного угла любого двугранного угла при основании пирамиды, стороной которого служит апофема. !!!

В любой тетраэдр можно вписать шар Если в основание пирамиды можно вписать окружность, а основание высоты пирамиды является центром этой окружности, то в пирамиду можно вписать шар Следствия :