В-сплайны При построении В-сплайна – цель найти непрерывную(p-1)(p-степень многочлена)раз дифференцируемую функцию, принимающую ненулевые значения только внутри отрезка Основу теории В-сплайнов положили – Фергюссон, Шенберг, Уитни, Розенфельд, Гордон. В- сплайны получили свое название от Базисных функций

Классификация В-сплайнов В-сплайны периодические Нормализованные на существенном интервале ненормализованные открытые Равномерная параметризация Неравномерная параметризация

Гибкость базиса В-сплайна Кривую можно изменить: Изменяя тип вектора параметризации Меняя порядок базисной функции Меняя количество опорных точек Используя повторяющиеся вершины Используя повторяющиеся параметры в векторе параметризации

Математическое представление В- сплайнов В-сплайны задаются с помощью базисных функций (элементарных В-сплайнов) Свойства элементарных базисных функций: Каждая базисная функция неотрицательна для любого значения параметра Все базисные функции степени p, отличной от нуля, имеют ровно один максимум. Для базисных функций верно следующее выражение

Свойства В-сплайнов Кривая обладает свойством уменьшения вариации Общая форма кривой повторяет форму выпуклого многоугольника Открытые В-сплайны проходят через первую и последнюю опорные точки Периодические В-сплайны не проходят ни через одну из опорных точек

Результирующая кривая афинно инвариантно но перспективно не инвариантна Кривая лежит внутри выпуклого определяющего многоугольника. Этот свойство сильнее, чем у кривых Безье. Все точки аппроксимирующих В-сплайновых кривых лежат внутри объединения всех выпуклых оболочек (многоугольников)(p+1) последовательных вершин.

Пояснение к предыдущему пункту. Пусть p=3 Если все опорные точки коллинеарны, то соответствующий В-сплайн прямая линия для всех p Если в наборе опорных точек встречаются коллинеарные вершины, тот в результирующей кривой есть прямолинейные участки

Элементарные В-сплайны Элементарный В-сплайн степени р – это сплайн, равный 0 на всех подсегментах, за исключением (р+1)-го Формула Кокса де Бура для элементарного В- сплайна

Элементарный В-сплайн нулевой и первой степени Элементарный В-сплайн нулевой степени равен единице – N i,0 (t)=1 и определен на одном интервале параметризации. Элементарный В-сплайн первой степени определен на двух интервалах параметризации

Элементарный В-сплайн второй степени Элементарный В-сплайн второй степени определен на трех интервалах параметризации

Элементарный В-сплайн третьей степени Существует на четырех интервалах параметризации

Полный вектор параметризации для аппроксимации кривой в случае (n+1) опорной точки требуется (n+1) элементарный В-сплайн. для построения элементарного В-сплайна необходимо р интервалов параметризации и (р+1) параметр. полный вектор параметризации -T={t 1,….,t m }, m – длина вектора параметризации Число интервалов параметризации – (m-1) Длина вектора параметризации – m=n+p+2

Фиктивные и существенные интервалы (параметры) на существенных интервалах число элементарных В-сплайнов равно p+1. Число элементарных В-сплайнов на фиктивных интервалах меньше, чем p+1 Число существенных интервалов – int int=n-(p-1) Число существенных параметров – int+1

Открытый В-сплайн Вектор параметризации: a и b – кратные узлы a =0, b=1– встречаются (p+1)раз p=n – порядок В-сплайна на единицу меньше числа опорных точек – базис В-сплайнов совпадает с базисом Бернштейна. При p=3, n=3, получим: Длина вектора параметризации – m=n+p+2=6 Вектор параметризации: { }

Положение элементарных В-сплайнов на векторе параметризации открытого В-сплайна n=3, р=3, m=n+p+2, число существенных интервалов int=n-(p-1)=1 N 1,3 N 2,3 N 0,3 N 3,

Основные свойства открытого В- сплайна Первая и последняя точки кривой совпадают с соответствующими точками полигона, т.е. кривая проходит через первую и последнюю опорные точки. Касательная к кривой в первой и последней точке полигона совпадает с соответствующими сторонами многоугольника, построенного по опорным точкам кривой Совпадают с свойствами кривых Безье

Расчет открытого В-сплайна при неравномерной параметризации Определение длины вектора параметризации Выбор типа параметризации Расчет параметров вектора параметризации по формуле : Расчет элементарных В-сплайнов Расчет кривой по формуле

Расчет параметров вектора параметризации открытого В- сплайна при равномерной параметризации

Периодический В-сплайн Кривая получается в результате параллельного переноса элементарных В-сплайнов вдоль вектора параметризации. Положение Элементарных В-сплайнов на векторе параметризации: n=4, р=3,m=9 N 0,p N 1,p N 2,p существ. инт. N 4,p N 3,p t

Нормализованный периодический В-сплайн Если в векторе параметризации один существенный интервал и он нормализован, то такой периодический В-сплайн называется нормализованным

Нормализованный периодический В-сплайн второй степени n=2,p=2, m=6 Вектор параметризации Т={-2,-1,0,1,2,3} Математическое выражение: Матричное представление: Производная:

Нормализованный периодический В-сплайн 3-ей степени n=3, p=3, m=8 Вектор параметризации Математическое выражение: Матричное представление: Производная: Т={-3,-2,-1,0,1,2,3,4},

Основные свойства нормализованного периодического В-сплайна 2-ой и 3-ей степени При p=2 нормализованный периодический В-сплайн проходит через середины сторон опорного треугольника и касается этих сторон При p=3 нормализованный периодический сплайн не проходит через первую и последнюю опорные точки, касается диагоналей опорного четырехугольника

Составные В-сплайновые кривые( на основе нормализованного периодического В- сплайна 3-ей степени) Алгоритм построения составной кривой: Для i-ого сегмента используются точки P i, P i+1, P i+2, P i +3. Для i+1-ого сегмента точки P i+1, P i+2, P i+3, P i +4. И так далее.

Свойства составного нормализованного периодического сплайна третьей степени Не проходит через первую и последнюю опорные точки В местах стыка сегментов выполняется условие геометрической непрерывности первого и второго порядка

Изменение свойств составной В- сплайновой кривой 3-ей степени Добавление в полигон кратных 1.одна вершина в конце и одна в начале полигона : P -1 = P 0 P n и = P n+1 – кривая касается отрезков P - P 0 и P n-1 P n 2.две вершины в начале и две в конце полигона P -2 = P -1 = P 0 и P n+2 = P n+1 = P 0 – кривая проходит через первую и последнюю точки полигона

Добавление воображаемых вершин в начале и в конце полигона P -1 = (P 0 - P 1 )+ P 0, P n+1 = (P n - P n-1 )+ P n Кривая проходит через первую и последнюю точки полигона и касается первой и последней сторон опорного многоугольника