лекция 1 для студентов 1 курса, обучающихся по специальности Педиатрия К.п.н., доцент Шилина Н.Г. Красноярск, 2012 Тема: Интегральное исчисление Дифференциальные уравнения Кафедра медицинской и биологической физики

План лекции: Понятие неопределенного интеграла.Свойства неопределенного интеграла Понятие определенного интеграла.Свойства определенного интеграла Таблица интегралов от некоторых функций. Способы вычисления интегралов Типы дифференциальных уравнений и способы их решения

Понятие неопределенного интеграла Функция F(x), называется первообразной для функции f(x), если ее производная F'(x) равна данной функции, F'(x) = f(x), а dF(x)=f(x)dx. Совокупность всех первообразных F(x)+C для данной функции f(x) называется неопределенным интегралом (обозначается f(x)dx=F(x)+C, где f(x)dx – подынтегральное выражение, f(x) – подынтегральная функция, С- постоянная).

Свойства неопределенного интеграла дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению: dF(x)dx = F(x)dx; неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой функции: F(x)dx= F(x) + C; постоянный множитель выносится за знак интеграла: kf(x)dx = kf(x)dx; интеграл суммы (разности) функций равен сумме (разности) интегралов этих функций: (f 1 (x) ± f 2 (x) ± f 3 (x))dx= (f 1 (x)dx± f 2 (x)dx ± f 3 (x))dx.

Таблица интегралов основных функций

Методы интегрирования Интегрирование по формулам. Этот метод основан на использовании таблицы интегралов основных функций и свойствах неопределенного интеграла Интегрирование методом замены переменной (или метод подстановки). Этот способ применяется для упрощения подынтегрального выражения и сведения интеграла к табличному. Вводится новая переменная z=f(x), находится ее дифференциал dz=z'dx, выражается, и все подынтегральное выражение записывается в новых переменных z.

Понятие определенного интеграла

Выражение называют определенным интегралом функции f(x) на отрезке [ab]. Если неопределенный интеграл представляет собой совокупность функций, отстоящих друг от друга на величину С, то определенный интеграл – это всегда число, значение которого определяется видом подынтегральной функции и значениями верхнего (b) и нижнего (а) пределов интегрирования.

Свойства определенного интеграла при смене пределов интегрирования меняется знак у определенного интеграла если пределы интегрирования равны между собой, то определенный интеграл равен нулю если точка с принадлежит отрезку [ab], то выполняется равенство

Формула Ньютона -Лейбница Чтобы вычислить определенный интеграл необходимо найти его первообразную (неопределенный интеграл) и подставить пределы интегрирования

Дифференциальные уравнения Уравнение, содержащее независимую переменную х, функцию f(x) и ее производные от первого до n-го порядка, называется дифференциальным. F(x,f(x),f'(x),f''(x),…,f (n) (x),С)=0. Порядок дифференциального уравнения определяется порядком наивысшей производной. Решением дифференциального уравнения называется функция y=f(x), которая при подстановке обращает это уравнение в тождество.

Алгоритм решения дифференциальных уравнений представить производную в дифференциальной форме, т.е. ; разделить переменные, т.е. все, что относится к одной переменной (х) собрать в одной части равенства, а все, что относится к другой переменной (у) – в другой части равенства; проинтегрировать обе части равенства и записать решение в виде y=f(x); выполнить проверку.

Основные типы дифференциальных уравнений и способы их решения уравнение вида y'= f(x).

уравнение вида y'= f(у).

уравнение с разделяющимися переменными вида f 1 (x)Ψ 1 (y)dx+f 2 (x)Ψ 2 (y)dy=0

Общее и частное решение дифференциального уравнения Константа может быть выбрана в любом виде (произвольно) для удобства решения. И тогда получают общее решение дифференциального уравнения. Если же заданы начальные условия, то константа вычисляется и имеет вполне определенное значение. Тогда можно говорить о частном решении дифференциального уравнения.

Заключение Нами рассмотрены: понятия неопределенного и определенного интегралов, а также показаны на примерах способы их решения; виды дифференциальных уравнений, алгоритмы их решения.

Тест-контроль Порядок дифференциального уравнения определяется порядком входящей в него: 1.функции 2.аргумента 3.высшей производной 4.низшей производной

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА Обязательная: 1.Павлушков И.В. Основы высшей математики и математической статистики: учебник для мед.вузов.- М.: ГЭОТАР-Медиа, Дополнительная: 1.Математика в примерах и задачах: учебное пособие /Л.Н.Журбенко, Г.А. Никонова, Н.В.Никонова и др.- М.: ИНФРА-М, Шаповалов К.А. Основы высшей математики: учебное пособие. - Красноярск: Печатные технологии, Математика: метод. указания к внеаудит. работе для студ. по спец. – педиатрия /сост. Л.А.Шапиро и др.- Красноярск: тип.КрасГМУ, Электронные ресурсы: 1.ЭБС КрасГМУ 2.Ресурсы интернет

БЛАГОДАРЮ ЗА ВНИМАНИЕ