Лекция 4 Динамика системы частиц 28/02/2012 Алексей Викторович Гуденко

План лекции Закон сохранения импульса. Импульс силы. Теорема о движении центра масс. Движение тел с переменной массой. Реактивное движение.

Демонстрации Воздушная дорога. Теорема о движении центра масс. закон сохранения импульса. Стакан с водой на листе бумаги Гиря на нитке Сосновая планка на бумажных кольцах Эфирная пушка Наклонная плоскость

Импульс силы ΔP = Fdt Импульс, приобретаемый телом, определяется силой и временем её действия ΔP = Fdt Демонстрации Стакан с водой на листе бумаги Гиря на нитке Сосновая планка на бумажных кольцах

Система частиц Для частицы: dp = Fdt Δp = Fdt - приращение импульса частицы равно импульсу силы Для системы частиц: импульс системы частиц P = Σp i dP/dt = Σdp i /dt = ΣF i внутр + ΣF i внешн = ΣF i внешн = F внешн Производная импульса системы частиц по времени равна векторной сумме всех внешних сил, действующих на частицы системы. Изменение импульса системы равна импульсу результирующей всех внешних сил: ΔP = F внешн dt

Закон сохранения импульса Замкнутая или изолированная система тел – система тел, взаимодействующих только друг с другом, и не взаимодействующих с другими телами. Импульс замкнутой системы тел остаётся постоянным при любых взаимодействиях тел этой системы между собой.

Центр масс системы. Терема о движении центра масс Центра масс: r c = (m 1 r 1 + m 2 r 2 + …+m n r n )/(m 1 + m 2 + …+m n ) r c = Σm i r i /m; m = Σm i – масса системы Скорость Центра масс: v c = Σm i v i /m = P/m Импульс системы: P = Σm i v i = mv c – импульс системы равен произведению массы системы на скорость её центра масс mdv c /dt = F внешн Теорема о движении Центра масс: Центр масс системы движется как материальная точка, масса которой равна суммарной массе всей системы, а действующая сила – сумме внешних сил

Центр масс замкнутой системы Центр масс замкнутой системы частиц движется равномерно и прямолинейно. Инерциальная СО, связанная с центром масс замкнутой системы называется системой центра инерции, или С-системой. В С-системе полный импульс системы равен нулю

Муха в пробирке ( 3.4) Массы мухи и пробирки одинаковы M = m Длина пробирки L Время падения пробирки t = ? Решение: (M + m)dV c /dt = (M + m)g dV c /dt = g V c = gt S = ½L = gt 2 /2 t = (L/g) 1/2

Движение тел с переменной массой. Реактивное движение Закон сохранения (изменения) импульса: (m + dm)(v + dv) + v газ dm газ - mv = Fdt dm газ = -dm; v газ = v + u mdv/dt = u dm/dt + F = -μu + F основное уравнение динамики точки с переменной массой или уравнение Мещерского. F р = -μu – реактивная сила

Формула Циолковского F = 0 mdv/dt = - u dm/dt v = uln(m 0 /m), или m 0 /m = e v/u – формула Циолковского В поле тяжести: v = uln(m 0 /m) – gt dv/dt = 0 (ракета зависла): F р = mg m = m 0 e -gt/u μ = (m 0 g/u) e -gt/u

Константин Эдуардович Циолковский (1857 – 1935) – основоположник современной космонавтики Константин Эдуардович Циолковский - русский и советский учёныйучёный-самоучка, исследователь,самоучка школьный учитель. Основоположник современной космонавтики.космонавтики Обосновал вывод уравнения реактивного движения, пришёл к выводу о необходимости использования «ракетных поездов» прототипов многоступенчатых ракет. Автор работ по аэродинамике, воздухоплаванию и другим наукам.

Расчёт запаса топлива для разгона до первой (второй) космической скорости V I = (gR) 1/2 = 7,9 км/с V II = (2gR) 1/2 = 11,2 км/с U ~ 2 км/с – скорость истечения газов V I : m 0 /m = e v/u ~ 52 m/m 0 ~ 2% V II : m 0 /m = e v/u ~ 270 m/m 0 ~ 0,4%