Способы построения поверхностей Поверхности, составные поверхности Аналитические- квадратичные поверхности Построенные на базе точек Построенные на базе кривых

Квадратичные поверхности Цилиндрическая поверхность Коническая поверхность Сферическая поверхность Эллиптическая поверхность Однополостный гиперболоид Двухполостный гиперболоид Эллиптический параболоид Гипербалический парабалоид

Математическое описание квадратичных поверхностей Сфера эллипсоид

Однополостный гиперболоид Двухполостный гиперболоид

Поверхности, построенные на базе точек Полигональные сетки Билинейная поверхность четырехугольная и треугольная Бикубическая поверхность Кунса (на основе кривых Эрмита) Четырехугольные и треугольные поверхности Безье, B-сплайновые поверхности. Поверхности NURBS

Поверхности, построенные на базе кривых Линейная поверхность Кунса Треугольная поверхность Поверхности, построенные по кинематическому принципу: поверхность вращения поверхность перемещения (заметания)( заметание на месте, простое выдавливание, сложное перемещение –sweep и lofting) Линейчатая поверхность – поверхность соединения Эквидистантная поверхность Продолженная или усеченная поверхность Перепараметризованная поверхность

Классификация поверхностей с точки зрения восполнения данных (аппроксимации или интерполяции ) Минимальная аппроксимация – погрешность в опорных точках равна нулю (интерполяция) Полигональные сетки Билинейная поверхность Максимальная аппроксимация – отклонение от моделируемой поверхности минимально Четырехугольные и треугольные поверхности, построенные по опорным точкам Аппроксимация только по одному параметру Поверхности, построенные по кинематическому принципу, поверхность соединения

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ПОЛИГОНАЛЬНЫХ СЕТОК Основой полигональной сетки является плоскость.. Уравнение произвольной плоскости в пространстве: Или в матричном виде:

Полигональная сетка –совокупность пересекающихся плоскостей Матричное представление полигональной сетки

Определение коэффициентов уравнения плоскости 1. Плоскость может быть задана с помощью координат трех точек, принадлежащих ей P 1, P 2, P 3. Если четыре точки принадлежат одной плоскости, то они находятся в линейной зависимости. тогда уравнение плоскости может быть записано следующим образом:

2. Нормаль к плоскости математически описывается следующим образом: Если известна нормаль к плоскости. То коэффициенты при I,j,k являются коэффициентами a,b,c в уравнении плоскости. Коэффициент d можно найти из уравнения плоскости, если известны координаты одной точки, принадлежащей этой плоскости. Определение нормали к плоскости с помощью векторного произведения двух векторов. Лежащих в этой плоскости:

3. Метод Мартина Ньюэла, для случая, когда многоугольник, определяющий грань полигональной сетки, не является плоским и задается координатами n точек Коэффициенты a,b,c пропорциональны площадям многоугольника на плоскости yz,xz,xy соответственно. Степень отклонения в любой точке полученной плоскости от реального многоугольника:

Аффинные преобразования над полигональными сетками и многогранниками Многогранник является частным случаем полигональной сетки, следовательно, может быть описан с помощью матрицы [V] Заданы матрицы [V], [B] – однородные координаты вершин многоугольников(полигонов) и [T] – матрица аффинных преобразований Преобразование координат – [BT]=[B][T] Уравнение плоскости – [B][V]=[D], [D] – нулевая матрица Умножим правую и левую часть этого уравнения на матрицу аффинных преобразований – [BT][VT]=[D] [BT][VT]=[B][V], [B][T] VT]=[B][V] [ T][ VT]=[V] [ VT]=[T] -1 [V]

Непротиворечивость представления полигональной сетки Все многоугольники замкнуты Все ребра используются по крайней мере один раз, но не более заданного числа\ На каждую вершину есть ссылка по крайней мере от одного ребра Особые требования Полигональная сетка должна быть связной Каждый полигон должен быть плоским Отсутствие «дыр"

Правильные многогранники – платоновы тела Правильный многогранник – выпуклый многогранник, все грани которого правильные многоугольники и все многогранные углы при вершинах равны между собой названиеЧисло гранейЧисло реберЧисло вершин тетраэдр464 Гексаэдр(куб)6128 октаэдр8126 додекаэдр икосаэдр203012

Способы создания модели правильного многогранника Задание каркасной модели – координаты вершин и уравнения прямых, на которых лежат ребра Задание в явном виде простейшего из платоновых тел и путем выполнения геометрических преобразований создание модели других платоновых тел. Можно построить: 1.Тетраэдр на основе гексаэдра 2.Октаэдр на основе гексаэдра 3.Икосаэдр на основе додекаэдра Например, для второго случая используется следующее свойство – координаты вершин октаэдра – центры тяжести граней куба:

Построение тетраэдра на основе гексаэдра

Построение октаэдра на основе гексаэдра