урок 11

1) Какой многоугольник называется описанным около окружности? 2) Какая окружность называется вписанной в многоугольник? 3) Можно ли вписать окружность в правильный многоугольник? Что является центром вписанной окружности? 4) Каким свойством обладает четырехугольник, описанный около окружности? 5) Противоположные стороны четырехугольника, описанного около окружности равны 7 см и 10 см. Можно ли по эти данным найти периметр четырехугольника? 6) Можно ли вписать окружность в: а) прямоугольник; б) параллелограмм; в) ромб; г) квадрат; д) трапецию; 7) Можно ли определить вид трапеции, если: а) около нее можно описать окружность; б) в нее можно вписать окружность? 8) Верно ли следующее утверждение; «Центры окружностей, описанной около правильного многоугольника и вписанной в него, совпадают»?

Новый материал Изобразим произвольный выпуклый n-угольник, пусть n=6. Вопросы - Как можно найти площадь данного многоугольника? - Каким образом его можно разбить на треугольники? Вывод. Площадь произвольного многоугольника можно находить, разбивая его на треугольники. При этом площадь многоугольника будет равна сумме площадей этих треугольников.

Теперь изобразим окружность и опишем около нее n-угольник, пусть n=5. Разобьем его на треугольники, имеющие общую вершину – центр окружности, опустим из нее высоты на противоположные стороны полученных треугольников. Какой вывод можно сделать о площади многоугольника?

Теорема. Площадь многоугольника, описанного около окружности, равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности. Следствие. Площадь правильного n-угольника выражается формулой где a – сторона n-угольника, r – радиус вписанной окружности.

Доказательство. Многоугольник, описанный около окружности, можно представить составленным из треугольников, сторонами a 1, …, a n которых являются стороны данного многоугольника, а высоты h 1, …, h n равны радиусу r вписанной окружности. Поэтому площадь S многоугольника равна сумме площадей треугольников S = a 1 r + … + a n r = (a 1 + … +a n )r,

Пусть теперь дан правильный описанный около окружности n-угольник со стороной a. P=na. Площадь правильного n-угольника выражается формулой S = n a r, где a – сторона n-угольника, r – радиус вписанной окружности

Упражнение 1 Около окружности, радиуса 2 см, описан многоугольник, периметра 4 см. Найдите его площадь. Ответ: 4 см 2.

Упражнение 2 Площадь многоугольника, описанного около окружности радиуса 3 см, равна 6 см 2. Найдите периметр многоугольника. Ответ: 4 см.

Упражнение 3 Периметр четырехугольника равен 100 м. Может ли его площадь быть меньше одного квадратного метра, если этот четырехугольник: а) параллелограмм; б) прямоугольник; в) ромб; г) квадрат; д) трапеция? Ответ: а) Да; б) да; в) да; г) нет; д) да.

Упражнение 4 Диагонали четырехугольника перпендикулярны и равны 4 см и 5 см. Найдите площадь этого четырехугольника. Ответ: 10 см 2.

ЗАДАЧА 1 Около окружности описан четырехугольник. Найдите площадь четырехугольника, если две его противоположные стороны равны а и b, радиус окружности равен R. a b P=2(a+b) A B C D AB+CD=BC+AD=a+b (по свойству описанного четырехугольника) S= (a+b)R

ЗАДАЧА 2 Найдите площадь правильного шестиугольника, описанного около окружности радиуса: а) 3 см: б) b.

ЗАДАЧА 3 Докажите, что площадь Sn правильного n - угольника со стороной a, вписанного в окружность радиуса R, вычисляется по формуле Sn= n a Rcos

R h

Упражнение 4 Диагонали четырехугольника перпендикулярны и равны 4 см и 5 см. Найдите площадь этого четырехугольника. Ответ: 10 см 2.

ЗАДАЧА 4 Постройте треугольник, равновеликий данному четырехугольнику.

C1 Треугольник ABC1- искомый

Задание на дом 1. Выучить теорию (п. 61 учебника). 2. Решить задачи.3,4,16,20