Лектор Янущик О.В г. Математический анализ Раздел: Функция нескольких переменных Тема: Экстремумы ФНП. Условные экстремумы ФНП

§7. Экстремумы ФНП Пусть z = f(x,y) определена в некоторой области D xOy, M 0 (x 0,y 0 ) D. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Точка M 0 (x 0,y 0 ) называется точкой максимума функции f(x,y), если M(x,y) U(M 0, ) выполняется неравенство f(x,y) f(x 0,y 0 ). Точка M 0 (x 0,y 0 ) называется точкой минимума функции f(x,y), если M(x,y) U(M 0, ) выполняется неравенство f(x,y) f(x 0,y 0 ). Точки максимума и минимума функции называются ее точками экстремума. Значения функции в точках максимума и минимума называются соответственно максимумами и минимумами (экстремумами) этой функции.

Замечания. 1)По смыслу точкой максимума (минимума) функции f(x,y) могут быть только внутренние точки области D. 2) Если M(x,y) U*(M 0, ) выполняется неравенство f(x,y) < f(x 0,y 0 ) [ f(x,y) > f(x 0,y 0 ) ], то точку M 0 называют точкой строгого максимума (соответственно точкой строгого минимума) функции f(x,y). Определенные в 1 точки максимума и минимума называют иногда точками нестрогого максимума и минимума. 3)Понятия экстремумов носят локальный характер. В рассматриваемой области функция может совсем не иметь экстремумов, может иметь несколько (в том числе бесчисленно много) минимумов и максимумов. При этом некоторые минимумы могут оказаться больше некоторых ее максимумов.

ТЕОРЕМА 2 (необходимые условия экстремума). Если функция z = f(x,y) в точке M 0 (x 0,y 0 ) имеет экстремум, то в этой точке либо обе ее частные производные первого порядка равны нулю, либо хотя бы одна из них не существует. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ теоремы 2. Если M 0 (x 0,y 0 ) – точка экстремума функции z = f(x,y), то касательная плоскость к графику этой функции в точке P 0 (x 0,y 0,f(x 0,y 0 )) либо параллельна плоскости xOy, либо вообще не существует. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО Точки, удовлетворяющие условиям теоремы 2, называются критическими точками функции z = f(x,y).

ТЕОРЕМА 3 (достаточные условия экстремума функции ДВУХ переменных). Пусть M 0 (x 0,y 0 ) – критическая точка функции z = f(x,y) и в некоторой окрестности точки M 0 функция имеет непрерыв- ные частные производные до 2-го порядка включительно. Обозначим Тогда 1) если A C – B 2 < 0, то точка M 0 (x 0,y 0 ) не является точкой экстремума; 2) если A C – B 2 > 0 и A > 0, то в точке M 0 (x 0,y 0 ) функция имеет минимум; 3) если A C – B 2 > 0 и A < 0, то в точке M 0 (x 0,y 0 ) функция имеет максимум; 4)если A C – B 2 = 0, то никакого заключения о крити- ческой точке M 0 (x 0,y 0 ) сделать нельзя и требуются дополнительные исследования.

Замечание. 1) Если с помощью теоремы 3 исследовать критическую точку M 0 (x 0,y 0 ) не удалось, то ответ на вопрос о наличии в M 0 экстремума даст знак f(x 0,y 0 ) : а)если при всех достаточно малых x и y имеем f(x 0,y 0 ) < 0, то M 0 (x 0,y 0 ) – точка строгого максимума; б)если при всех достаточно малых x и y имеем f(x 0,y 0 ) > 0, то M 0 (x 0,y 0 ) – точка строгого минимума. В случае нестрогих экстремумов при некоторых значениях x и y приращение функции будет нулевым 2) Определения максимума и минимума и необходимые условия экстремума легко переносятся на функции трех и более числа переменных. Достаточные условия экстремума для функции n (n > 2) переменных ввиду их сложности в данном курсе не рассматриваются. Определять характер критических точек для них мы будем по знаку приращения функции.

§8. Условные экстремумы ФНП ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Условным экстремумом функции n переменных u = f(x 1, x 2, …, x n ) называется экстремум этой функции, найденный в предположении, что переменные x 1, x 2, …, x n связаны m (m < n) условиями: 1 (x 1, x 2, …, x n ) = 0, …………………….,(1) m (x 1, x 2, …, x n ) = 0. Условия (1) называются уравнениями связи. Обычный экстремум при этом называют безусловным экстремумом.

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ условного экстрему- ма функции ДВУХ переменных. Пусть поверхность S – график функции z = f(x,y); M 1 – точка безусловного экстремума(сравниваем P 1 и точ- ки ее полной окрестности). Пусть xOy – кривая уравнения связи (x,y) = 0, L – образ на поверхности S. M 0 – точка условного экстремума (сравниваем положе- ние P 0 и точек кривой L).

ЗАДАЧА. Найти экстремум функции z = f(x,y), при условии, что x и y связаны условием (x,y) = 0. I способ. Метод подстановки. Из уравнения (x,y) = 0 выразить y = (x) и подставить в z = f(x,y). Тогда условный экстремум – обычный экстремум функции одной переменной z = f(x, (x)). II способ. Метод Лагранжа. Пусть уравнение (x,y) = 0 определяет функцию y = y(x) в неявном виде, f(x,y) – дифференцируемая. Необходимые условия условного экстремума функции 2-х переменных:

Замечания. 1)Условия (5) – необходимые условия экстремума функции 3-х переменных F (x,y, ) = f(x,y) + (x,y). F (x,y, ) называют функцией Лагранжа, – множителем Лагранжа. 2) ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ метода Лагранжа. Рассмотрим линии уровня f(x,y) = C 1, …, f(x,y) = C k функции z = f(x,y) и кривую (x,y) = 0 (кривую ). Точка Q не является точкой условного экстремума, т.к. в ее окрестности функция принимает значения как больше C i, так и меньше C i. Точка условного экстремума M 0 – точка в которой касается некоторой линии уровня f(x,y) = C m.

В точке условного экстремума касательная к линии уровня f(x,y) = C m и к – общая. Угловой коэффициент касательной к линии уровня f(x,y) = C m в точке M 0 : Угловой коэффициент касательной к линии в точке M 0 : Так как k 1 = k 2, то

Полученные из системы (5) критические точки M i необходимо проверить на наличие условного экстремума (рассмотреть в них приращение f(M i ) с учетом уравнения связи (x,y) = 0). Замечание. Пусть M 0 (x 0,y 0 ) – критическая точка условного экстремума, M 0 (x 0,y 0 ) 0. Рассмотрим f(M 0 ) = f(M) – f(M 0 ) = f(x 0 + x,y 0 + y) – f(x 0,y 0 ), где (x 0,y 0 ) = 0 и (x 0 + x,y 0 + y) = 0 : f(M 0 )=f(x 0 + x,y 0 + y) – f(x 0,y 0 ) + 0 [ (x 0 + x,y 0 + y) – (x 0,y 0 )]= = [ f(x 0 + x,y 0 + y) + 0 ( x 0 + x,y 0 + y)] – [f(x 0,y 0 ) + 0 (x 0,y 0 )]. f(M 0 ) = x,y F(x 0,y 0, 0 ) Таким образом, приращение функции f(M 0 ) с учетом уравнения связи (x,y) = 0 совпадает с приращением функции 2-х переменных F (x,y, 0 ) = f(x,y) + 0 (x,y).

Для функции 2-х переменных справедлива ТЕОРЕМА 1 (достаточное условие условного экстремума функции 2-х переменных). Пусть M 0 (x 0,y 0 ) – критическая точка для условного экстремума функции z = f(x,y) и в некоторой окрестности точки M 0 (x 0,y 0 ) функция имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Обозначим Тогда: 1)если > 0, то в точке M 0 – условный минимум ; 2)если < 0, то в точке M 0 – условный максимум ; 3)если = 0, то никакого заключения о критической точке M 0 (x 0,y 0 ) сделать нельзя и требуются дополнительные исследования.

Обобщая полученные результаты на функцию n переменных получим следующие результаты. ТЕОРЕМА 2 (необходимые условия условного экстремума функции n переменных). Если функция u = f(x 1, x 2, …, x n ) в точке M 0 (x 01, x 02, …, x 0n ) имеет условный экстремум, то M 0 является стационарной точкой функции F (x 1, x 2, …, x n, 1, … m ) = f(M) (M) + … + m m (M), где 1 (M) = 0, … m (M) = 0 – уравнения связи. Наличие в критической точке M 0 экстремума определяют по знаку приращения функции n переменных F(M 0, 01, … 0m ) где 01, …, 0m – фиксированные значения множителей Ла- гранжа, соответствующие точке M 0.