Равносильные уравнения и неравенства

Два неравенства f 1 (x)>g 1 (x) и f 2 (x)>g 2 (x) или два уравнения f 1 (x) = g 1 (x) и f 2 (x) = g 2 (x) называются равносильными, если каждое решение первого неравенства (уравнения), принадлежащее множеству Х, является решением второго, и, наоборот.

Неравенства (уравнения) называются равносильными на Х, если множество решений этих неравенств (уравнений) совпадают

Примеры равносильных уравнений и неравенств

Перенос членов уравнения (неравенства) из одной части в другую Уравнения 4х – 3 = 2х + 5 и 4х – 2х = Неравенства х 2 > 1 и x 2 – 1 > 0

Умножение или деление обеих частей уравнения(неравенства) на одно и то же число,отличное от нуля. Уравнения х 2 /4 = 1 и х 2 = 4 (х 2 -4)(х 2 + 4) =0 и х 2 – 4 =0 Неравенства (х-3)/(х 2 +1) < 0 и х – 3 < 0

Замена части уравнения (неравенства) тождественно равным ему выражением Уравнения х 2 +3х = 0 и х (х+3) = 0 Неравенства х 2 + 2х + 2 > 0 и (x + 1) > ) ; x 2 – 3

Решить уравнение х = х – 2 (1) х = (х – 2) 2 (2) х = х 2 – 4х + 4 х 2 – 5х + 4 = 0 х 1 = 4, х 2 = 1 Уравнение (1) имеет только один корень х = 4, а (2) – два корня: х 1 = 4, х 2 = 1. Уравнение (2) называют следствием уравнения (1).

Установить, какое из двух уравнений является следствием другого уравнения

Корень x=1 второго уравнения не является корнем первого уравнения. Его называют посторонним корнем. Потеря корней может произойти при делении обеих частей уравнения на выражение, содержащее неизвестное.

Работу выполнили Карпова О.А. ВелигоненкоН.И.