1 ТЕМА 2. Методы расчета магнитного поля. П.1. Принцип суперпозиции магнитных полей. Магнитное поле прямого провода.П.1. Принцип суперпозиции магнитных полей. П.2. Циркуляция магнитного поля. ДОПОЛНЕНИЕ 1. Алгоритм применения закона циркуляции ДОПОЛНЕНИЕ 1. Алгоритм применения закона циркуляции магнитного поля для расчета индукции МП в некоторой точке. ДОПОЛНЕНИЕ 2. Закон Гаусса для магнитного поля. П.3. Магнитное поле соленоида. П.4. Магнитное поле на оси витка с током.

2 П.1. Принцип суперпозиции магнитных полей. Магнитное поле прямого провода. Формулировка принципа суперпозиции МП: Суммарная индукция магнитного поля равна сумме векторов индукции магнитных полей, создаваемых каждым источником: Использование принципа суперпозиции МП сводится к суммированию (интегрированию) элементарных индукций, создаваемых каждым элементом провода: где μ 0 = 4π·10 -7 Гн/м – магнитная постоянная.

3 Изобразим на рисунке отрезок провода конечной длины L, по которому течет ток I. Отметим точку наблюдения, в которой индукция МП имеет искомое значение B. Разобьем отрезок L на элементарные dL, в каждом из которых ток равен I. Каждый dL является источником МП и создает в точке наблюдения МП с индукцией Формула очень сложна для вычислений. Но иногда можно ее упростить и легко применить. I - направлен от нас в доску Т.Н. и подчиняется закону Био-Савара-Лапласа. Суммарная индукция L

4 Используем полученное соотношение для анализа МП наиболее простого, но весьма распространенного источника – прямого провода с током. Задача. Вычислить индукцию МП прямого провода на расстоянии R от его оси. dL L R Т.Н. R dL L Т.Н. I Вид сверху

5 Поскольку все векторы параллельны, то модуль вектора суммарной индукции будет равен. Найдем выражение для dL. Из треугольника: Отсюда: Дифференцируем по переменной :

6 Получили: R I Вектор индукции МП во всех точках окружности радиуса R одинаков по величине и направлен по касательной. Следовательно, линия индукции МП прямого провода с током есть окружность с центром на оси провода. ВИДЕО

7 Вывод: Принцип суперпозиции – один из способов вычисления магнитного поля. Он работает при любой конфигурации источника (провода с током). Другой метод – метод циркуляции магнитного поля. Он использует закон Био-Савара-Лапласа и операцию интегрирования, которая численными методами выполняется всегда. Однако вычисления достаточно сложные.

8 П.2. Циркуляция магнитного поля. Мы уже знаем: - электрическая циркуляция (С 0 E = 0 для электростатического поля). Циркуляция вектора :. ЗАДАЧА. Определить источник циркуляции МП, т.е. чему численно пропорциональна циркуляция. Используем формулу магнитного поля прямого провода с током.

9 I Выбираем контур L 0, в виде окружности радиуса R, проходящей через точку наблюдения, т.е. мы выберем линию индукции магнитного поля. L0L0 Вид сбоку провод Т.Н.

10 Контур интегрирования – окружность L0 L0 = 2πR. ВЫВОД: Циркуляция МП прямого провода с током по замкнутому контуру пропорциональна току: Закон циркуляции МП справедлив всегда, если I есть суммарный ток I СУМ, пронизывающий площадь S(L 0 ), ограниченную контуром интегрирования L 0 : I1I1 I2I2 I3I3 S(L 0 )L0L0 - подробная запись закона. ТЕСТ

11 ДОПОЛНЕНИЕ 1. Алгоритм применения закона циркуляции магнитного поля для расчета индукции МП в некоторой точке. Задача. Вычислить в точке наблюдения. Этапы решения: а) Сделать рисунок, изобразив источник магнитных полей и точку наблюдения. Угадать и нарисовать на рисунке линии индукции. Использовать соображения симметрии задачи.

12 Тип 2: С 2 = BCos( )L 2 ( BCos( ) = const). б) Выбрать контур интегрирования, который: ист.магн.поля Т.Н. линии поля замкнут, проходит через точку наблюдения, облегчает вычисление циркуляции, т.е. состоит из отрезков Тип 1 и Тип 2, где Тип 1: C 1 = 0 ( B = 0 или ); Замечание: На линии индукции всегда, поэтому ее в первую очередь надо рассматривать, как возможный отрезок «Типа 2».

13 в) Вычисляем C OB = C 2 ; г) Вычисляем суммарный ток I СУМ через площадь, ограниченную замкнутым контуром «S(L 0 )». д) Подставляем в закон циркуляции и вычисляем «B» в точке наблюдения.

14 ДОПОЛНЕНИЕ 2. Закон Гаусса для магнитного поля. Нам известна интегральная характеристика электрического поля - это поток ЭП: Линии индукции МП всегда замкнуты, т.е. не имеют ни начала, ни конца. Поэтому нет магнитных зарядов, т.е. объектов, на которых линии МП начинались бы или заканчивались. Этот факт математически записывается как закон Гаусса для магнитного поля: Ф 0В = 0. Для этой характеристики имеет место закон Гаусса: ВОПРОС: Чему равен поток МП через замкнутую поверхность?

15 П.3. Магнитное поле соленоида. Соленоидом называется длинная катушка, на поверхность которой намотан провод (в изоляции), по которому можно пропускать ток. Обычная форма катушки - цилиндр, хотя возможной формой является тороид. Идеальный соленоид – бесконечно длинная цилиндрическая катушка, на которой провод намотан вплотную в один слой. Задача: Вычислить индукцию магнитного поля внутри идеального соленоида с током I и числом витков на единицу длины n. ВИДЕО

16 На участках 2-3 и 4-1, следовательно, их скалярное произведение равно 0. В точке наблюдения соленоида. Используем алгоритм. б) Выбираем контур Участок 1-2 имеет Участки 2-3, 3-4, 4-1 – это «Тип 1», т.е. С В( ) = 0. а) Делаем рисунок. Точка наблюдения внутри соленоида. Угадываем: внутри соленоида линии индукции идут практически параллельно оси и поле однородно. Участок 3-4 располагаем на так, что B 3-4 = Т.Н. Исследуем контур : Это «Тип 2», и C B12 = BL 12. Участки 2-3 и 4-1 – это «Тип 1».

17 в) Окончательно C OB = C B12 = BL 12. г) Находим суммарный ток, пронизывающий площадку S(L 0 ), ограниченную контуром интегрирования. Каждый виток соленоида, расположенный на отрезке L 12 пронизывает этот контур. Таких витков будет N 12 штук, а суммарный ток в N 12 раз больше, чем I, т.е. I СУМ = I·N 12, где N 12 – количество витков соленоида на участке 1-2. Используем характеристику соленоида – количество витков на единицу длины:. Тогда

18 д) Подставляем все в закон циркуляции МП, Реальные соленоиды имеют конечную длину, поэтому данная формула справедлива в центральной части соленоида, а при приближении к его концам поле заметно уменьшается. - ответ. ТЕСТ

19 П.4. Магнитное поле на оси витка с током. Виток или кольцо с током является одним из очень важных реальных источников магнитного поля. R R ВИТКА Z r Z R X Т.Н. Вид сбоку 0

20 Суммирование всех элементарных векторов индукции МП можно заменить суммированием их проекций на вертикальную ось Z. Вычислим проекцию на ось Z одного элементарного вектора индукции МП: где Вектор элементарной индукции радиус-вектору точки наблюдения. Поэтому угол между и осью Z будет таким же, как и угол между и горизонталью, т.е.. В итоге получим вектор индукции МП кольца (на его оси), параллельный оси Z.

21 Полученную формулу полезно рассмотреть в двух предельных ситуациях. 1) Точка наблюдения находится в центре витка. Тогда расстояние от витка до точки наблюдения точно равно радиусу витка r = R ВИТКА, и

22 2) Точка наблюдения находится на оси витка на очень большом (по сравнению с радиусом витка) расстоянии до него. Тогда r = R можно считать расстоянием до витка. ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Магнитным моментом называется произведение величины тока на площадь S витка (кольца), по которому этот ток протекает., где Вывод: МП на оси витка с током на больших расстояниях убывает обратно пропорционально кубу расстояния до витка. Вектор магнитного момента направлен перпендикулярно плоскости витка, т.е. он параллелен вектору нормали. ВИДЕО ТЕСТ