ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ВОКРУГ НАС.

Введение в комбинаторику.

В математике существует немало задач, в которых требуется из имеющихся элементов составить различные наборы, подсчитать количество возможных вариантов. Такие задачи называют комбинаторными, а раздел математики - комбинаторикой.

Некоторые комбинаторные задачи Решали ещё в Древнем Китае, а позднее – в Римской империи. Однако как самостоятельный раздел математики комбинаторика оформилась в Европе лишь в 18 веке в связи с развитием теории вероятностей.

Исторические комбинаторные задачи.

Фигурные числа. В древности для облегчения вычислений часто использовали палочки, узелки, чаще камушки. Особое внимание уделялось числу камешков, которые можно разложить в виде правильной фигуры. Так появились числа: квадратные, треугольные, пятиугольные.

Квадратные числа. 2 N=n

Треугольные числа. N = n(n+1)/2

Пятиугольные числа. N = n+3 x n(n-1)/2

Простые и составные числа в древние времена представлялись по-разному: Простые – камушки выкладывались в прямую линию; Составные – камушки выкладывались в виде прямоугольников (числа называли прямоугольными).

Посчитаем?! 1.Записать квадратное число: -пятое; восьмое; тридцать первое. 2.Записать треугольное число: - шестое; десятое; двадцать первое. 3.Изобразить в древних традициях с помощью камешков (кружков) составное число: 6, 8,18,20.

Магические квадраты - ещё одна задача древности

Продолжите составление магических квадратов(от 1 до 9):

Латинские квадраты. Разновидностью магических квадратов являются латинские квадраты. Это квадраты n x n клеток, в которых записаны натуральные числа от 1 до n, причём таким образом, что в каждой строке и в каждом столбце встречаются все эти числа по одному разу

Впервые задачу построения латинских квадратов сформулировал Л.Эйлер ( ), причём в такой форме: «Среди 36 офицеров 6 улан, 6 драгун, 6 гусар, 6 кирасир, 6 кавалергардов и 6 гренадёров и, кроме того, среди них поровну генералов, полковников, майоров, поручиков и подпоручиков. При этом каждый род войск представлен офицерами всех 6 рангов. Можно ли этих офицеров выстроить в каре 6 х 6 так, чтобы в любой колонне и в любой шеренге были офицеры всех рангов?» Эйлер не смог решить эту задачу, а позднее, в 1901г., математики доказали, что латинских квадратов 6 х 6 не существует. Но с помощью ЭВМ (1959г.) доказано, что существует любой другой квадрат n х n.

В одной из древнейших рукописей 11 тысячелетия до нашей эры помещена фигура, изображённая на рисунке. Это старейший, так называемый, магический (волшебный) квадрат. В далёком прошлом люди считали все эти необычные свойства таинственными, отсюда название «магические» квадраты. Через посредничество арабов магические квадраты попали из Индии в Европу, ими стали заниматься видные учёные, среди которых был Пьер Ферма

Так выглядел талисман, который носили в Древнем Китае и который на самом деле является магическим квадратом. Такие талисманы использовали при заклинаниях.

Комбинаторные задачи в жизни. Нередко в жизни возникают ситуации, когда задача имеет не одно, а несколько решений, среди которых нужно выбрать одно наиболее подходящее. Например, в столовой при рассмотрении меню обеда человек мысленно составляет комбинации из первых, вторых и третьих блюд для своего обеда. Оказывается в это время он решает комбинаторную задачу. Вспомним основные методы решения: таблица вариантов, правило произведения, подсчёт вариантов с помощью графа.

Посчитаем: 1.У Светланы 5 кофт и 3 юбки, удачно сочетающихся по цвету. Сколько различных комбинаций из юбок и кофт имеется у Светланы? 2.Перечислить все двузначные числа, записанные с помощью цифр:3,4,5.Сколько их? 3.Андрей, Илья, Александр и Дмитрий, уезжая из лагеря подарили друг другу свои фотографии. Причём каждый подарил каждому по одной фотографии. Сколько всего фотографий было подарено? 4.Вычислить:а) 5!; б) 13!/11!; в)6! – 5!.

События Невозможные Достоверные Случайные

Подумаем:(какое это событие) Вода в реке замёрзла при температуре +30 градусов; После среды наступил четверг; При бросании игральной кости выпало 3 очка; Два человека в классе справляют день рождения 31 февраля; Два человека в классе справляют день рождения 15 января; При нахождении суммы углов треугольника получили 213 градусов.

События Совместные Несовместные

Какие это события: Вера и Ваня играли в шашки, Вера выиграла и Ваня выиграл; Наступило лето, идёт дождь; Бросили 2 игральные кости, выпало чётное число очков на обеих костях; Решали пример по действиям, в первом действии получили положительное число, во втором – отрицательное; На небе нет ни облачка, идёт – дождь.

События Равновозможные Неравновозможные

Равновозможны ли события? Появление орла и решки при одном бросании монеты; Падение бутерброда маслом вверх и маслом вниз; Из колоды в 36 карт вынута случайным образом карта красной масти и карта чёрной масти.

Вероятность события.

Встречаясь в жизни с различными событиями, мы часто даём оценку их достоверности или вероятности, восклицая при этом: «Это невероятно», «Шансы 50 на 50», «Я уверен – это произойдёт». Вопрос о возможности измерения степени достоверности наступления какого-либо события задавали себе ещё в 17 веке французские учёные Блёз Паскаль и Пьер Ферма. С тех пор выведено множество формул, но классическое определение вероятности остаётся неизменным: Р(А) = М/n.

Посчитаем: Студент не выучил 1 билет из 25 предложенных для экзамена. Какова вероятность того, что ему достанется выученный билет? В лотерее 1000 билетов, из них 20 выигрышных. Приобретается один билет. Какова вероятность того, что этот билет выигрышный. В ящике 2 белых и 4 чёрных шара. Наугад вынимается один шар. Какова вероятность того, что этот шар: 1)белый, 2)чёрный, 3) красный 4)белый или чёрный?

Задумайтесь: Оказывается, владеть теорией вероятностей очень полезно. Ведь тогда вы сможете вычислить вероятность события невероятного на первый взгляд. А так же вас труднее «поймать на удочку» различных розыгрышей и лотерей.