Инверсия. Инверсия. Сейчас я, расскажу Вам про Инверсию.

Преобразования плоскости. Вы уже знакомы с различными преобразованиями плоскости. Вы уже знакомы с различными преобразованиями плоскости. Это осевая симметрия, поворот, параллельные переносы и т. д. Это осевая симметрия, поворот, параллельные переносы и т. д. Но в данный момент нас интересует иной класс преобразований – инверсии относительно окружностей. Но в данный момент нас интересует иной класс преобразований – инверсии относительно окружностей.

Инверсия плоскости относительно окружности – Обобщение зеркального отражения относительно прямой линии. Обобщение зеркального отражения относительно прямой линии.

Итак, Пусть в неподвижной плоскости задана некоторая окружность С с центром О (называемым центром (или полюсом) инверсии) и радиусом r. Образ точки p э это точка p`, лежащая по ту же сторону о от О, что и p и такая, что OP * OP` = r*r.

Из этого следует, что когда движущаяся точка р приближается к О, ее образ р уходит неограниченно далеко. По этому иногда говорят, что при инверсии образом центра является бесконечно удалённая точка.

Что происходит в результате инверсии: 1) прямая, проходящая через O остаётся прямой, проходящей через O, 1) прямая, проходящая через O остаётся прямой, проходящей через O, 2) прямая, не проходящая через О, становится окружностью, проходящей через О, 2) прямая, не проходящая через О, становится окружностью, проходящей через О, 3) окружность, проходящая через О становится прямой, не проходящей через О, 3) окружность, проходящая через О становится прямой, не проходящей через О, 4) окружность, не проходящая через О, остаётся окружностью, не проходящей через О. 4) окружность, не проходящая через О, остаётся окружностью, не проходящей через О.

Докажем данные утверждения: Утверждение 1) не требует доказательства, т.к. оно следует из определения инверсии. Утверждение 1) не требует доказательства, т.к. оно следует из определения инверсии.

Докажем утверждение 2): Из O опускаем перпендикуляр на данную прямую L. Пусть A - основание этого перпендикуляра, а A` - точка, обратная точке A. Из O опускаем перпендикуляр на данную прямую L. Пусть A - основание этого перпендикуляра, а A` - точка, обратная точке A. Возьмём произвольную точку P на L и обозначим ей обратную. Т.к. OA*OA`=OP*OP`=r*r, то относительно окружности отсюда следует, что Возьмём произвольную точку P на L и обозначим ей обратную. Т.к. OA*OA`=OP*OP`=r*r, то относительно окружности отсюда следует, что OA`/OP` = OP/OA. Поэтому треугольник OP`A` и треугольник OAP подобны и, значит, угол OP`A` прямой. Следовательно, P` лежит на окружности K с диаметром OA`; следовательно эта окружность и является образом прямой L. OA`/OP` = OP/OA. Поэтому треугольник OP`A` и треугольник OAP подобны и, значит, угол OP`A` прямой. Следовательно, P` лежит на окружности K с диаметром OA`; следовательно эта окружность и является образом прямой L.

Утверждение 3): Утверждение 3) следует из того, что если образ L есть K, то образ K есть L. Утверждение 3) следует из того, что если образ L есть K, то образ K есть L.

Утверждение 4) П Пусть K – окружность, не проходящая через О, с центром M и и и и радиусом k. Чтобы получить его образ, мы проведём через О прямую, пересекающую K в точках А и В. Затем посмотрим, как изменяются образы А` и B`, когда направление прямой изменяется и она пересекает K самыми разнообразными способами. Для простоты обозначим расстояния OA, OB, OA`,OB`, OM через a, b, a`, b`, m, и пусть t есть длина касательной к K, проведённой из точки О. По определению инверсии мы имеем aa` = bb` = r*r, а по геометрическому свойству окружности ab = t*t. Если разделим первое равенство на второе, получим:

a`/b=b`/a=r*r/t*t=c*c Где c*c зависит только от t и r и, значит, не зависит от положения точек A и B. Где c*c зависит только от t и r и, значит, не зависит от положения точек A и B. Теперь проведём через A` прямую, параллельную BM; пусть точка Q есть точка её пересечения с AM. Теперь проведём через A` прямую, параллельную BM; пусть точка Q есть точка её пересечения с AM. Положим OQ=q, A`Q=p. Тогда q/m=a`/b=p/k. Или же Положим OQ=q, A`Q=p. Тогда q/m=a`/b=p/k. Или же q=ma`/b=mc*c, p=ka/b=kc*c. q=ma`/b=mc*c, p=ka/b=kc*c. Это значит, что при всевозможных положениях A и B точка Q на прямой OM всегда будет одна и та же, и что расстояние A`Q не будет меняться. Это значит, что при всевозможных положениях A и B точка Q на прямой OM всегда будет одна и та же, и что расстояние A`Q не будет меняться. Также B`Q=p, т.к. A`/b=b`/a. Также B`Q=p, т.к. A`/b=b`/a.

Итак, Образами точек A и B на K будут точки, расстояния которых от Q раны постоянной величине p, т.е. образ K есть окружность. Образами точек A и B на K будут точки, расстояния которых от Q раны постоянной величине p, т.е. образ K есть окружность.

Геометрические построения обратных точек. Докажем следующую теорему: точка P`, обратная данной точке Р относительно окружности С, может быть построена геометрически с помощью одного только циркуля. Докажем следующую теорему: точка P`, обратная данной точке Р относительно окружности С, может быть построена геометрически с помощью одного только циркуля.

Рассмотрим 1-й случай. Точка Р находится вне окружности С. Радиусом ОР опишем круговую дугу с центром Р, пересекающую С в точках R и S. Затем из этих точек, как из центров, опишем круговые дуги радиусом r, равным радиусу круга C, эти дуги пересекутся в О и ещё в точке Р` на прямой ОР. В равнобедренных треугольниках ORP и ORP` угол ORP равен углу POR и равен углу OP`R, так что треугольники подобны, и поэтому ОР/OR равно OR/OP`, т. е. OP*OP`=r*r. Значит, P` есть искомая точка Р.

Рассмотрим 2-й случай. Если данная точка Р лежит внутри С, то построение и доказательство остаются в силе, лишь бы окружность радиуса ОР с центром Р пересекла окружность С в двух точках. Если данная точка Р лежит внутри С, то построение и доказательство остаются в силе, лишь бы окружность радиуса ОР с центром Р пересекла окружность С в двух точках. Если же пересечений не получается, то можно привести построение к предыдущему случаю: Если же пересечений не получается, то можно привести построение к предыдущему случаю: Прежде всего заметим, что на прямой, соединяющей две данные точки А и О, можно с помощью одного циркуля построить такую точку С, что АО = ОС. Для этого достаточно провести окружность с центром О и радиусом r, равным АО. Затем, начиная от точки А отметить последовательно на этой окружности такие точки Р, Q, C, что АР = PQ = QC = r. Тогда С – как раз искомая точка. Прежде всего заметим, что на прямой, соединяющей две данные точки А и О, можно с помощью одного циркуля построить такую точку С, что АО = ОС. Для этого достаточно провести окружность с центром О и радиусом r, равным АО. Затем, начиная от точки А отметить последовательно на этой окружности такие точки Р, Q, C, что АР = PQ = QC = r. Тогда С – как раз искомая точка.

Повторяя указанную процедуру, мы имеем возможность отложить отрезок АО по прямой сколько угодно раз. Кстати, т.к. длина отрезка АО равна r3, то нам удалось построить 3, исходя из единичного отрезка, не пользуясь линейкой.

Теперь мы можем построить точку, обратную точке Р относительно окружности С, как бы точка Р ни была расположена внутри С. Теперь мы можем построить точку, обратную точке Р относительно окружности С, как бы точка Р ни была расположена внутри С. Прежде всего на прямой ОР найдём такую точку R, что OR есть кратное ОР, и вместе с тем R лежит уже вне С: Прежде всего на прямой ОР найдём такую точку R, что OR есть кратное ОР, и вместе с тем R лежит уже вне С: OR = n * OP. OR = n * OP. Для этого достаточно последовательно откладывать расстояние ОР посредством циркуля, пока мы не выберемся из круга С. Для этого достаточно последовательно откладывать расстояние ОР посредством циркуля, пока мы не выберемся из круга С. Затем с помощью уже известного построения найдём точку R`, обратную точке R. Затем с помощью уже известного построения найдём точку R`, обратную точке R. Тогда будем иметь r*r = OR`* OR = OR` * (n * OP) = (n * Тогда будем иметь r*r = OR`* OR = OR` * (n * OP) = (n * * OR`) * OP. * OR`) * OP. Останется построить точку P` по условию OP` = n * OR`, и задача будет закончена. Останется построить точку P` по условию OP` = n * OR`, и задача будет закончена.

Построение центра круга с помощью одного циркуля. Другое построение с помощью одного циркуля, использующего обратные точки, заключается в нахождении центра данной окружности, когда начерчена только сама окружность, а центр ещё не известен. Берём произвольную точку Р на окружности и около неё, как центра, описываем круг произвольного радиуса, пересекающийся с данным кругом в точках R и S. Из этих последних точек, как центров, описываем дуги радиусом RP = SP, пересекающиеся, кроме точки Р, ещё в точке Q. Мы видим, что неизвестный центр Q` есть точка, обратная точке Q относительно окружности с центром Р, и Q`может быть, построена с помощью одного циркуля. Другое построение с помощью одного циркуля, использующего обратные точки, заключается в нахождении центра данной окружности, когда начерчена только сама окружность, а центр ещё не известен. Берём произвольную точку Р на окружности и около неё, как центра, описываем круг произвольного радиуса, пересекающийся с данным кругом в точках R и S. Из этих последних точек, как центров, описываем дуги радиусом RP = SP, пересекающиеся, кроме точки Р, ещё в точке Q. Мы видим, что неизвестный центр Q` есть точка, обратная точке Q относительно окружности с центром Р, и Q`может быть, построена с помощью одного циркуля.

Задача для аудитории: как разделить отрезок пополам? После того, как мы научились находить точку, обратную данной, мы теперь понимаем, что найти середину отрезка, концы которого А и В заданы, можно с помощью одного циркуля, не проводя самого отрезка.

Итак! Опишем окружность радиусом АВ с центром В и на нём, отправляясь от А, как раньше, отмерим последовательно три дуги радиусом АВ. Последняя точка С будет лежать на прямой АВ, причём мы будем иметь АВ = ВС. Затем опишем окружность радиуса АВ с центром А и построим точку С`, обратную точке С относительно этой окружности. Опишем окружность радиусом АВ с центром В и на нём, отправляясь от А, как раньше, отмерим последовательно три дуги радиусом АВ. Последняя точка С будет лежать на прямой АВ, причём мы будем иметь АВ = ВС. Затем опишем окружность радиуса АВ с центром А и построим точку С`, обратную точке С относительно этой окружности. АС` * АС = АВ * АВ; АС` * 2 АВ = АВ * АВ; 2АС` = = АВ. АС` * АС = АВ * АВ; АС` * 2 АВ = АВ * АВ; 2АС` = = АВ. Значит, С` есть искомая середина отрезка. Значит, С` есть искомая середина отрезка.

Вы правильно решили задачу?! Скоро домой! Скоро домой!

Спасибо за внимание. Я, пожалуй, немного устал…