В геометрии специально выделяют задачи на построение, которые решаются только с помощью двух инструментов: ЦИРКУЛЯ И ЛИНЕЙКИ без масштабных делений.

Условные обозначения - знак угла окр(О;г) - окружность с центром в точке О и радиусом г - знак пересечения - в скобках указано множество точек пересечения - знак принадлежности - знак перпендикулярности : - заменяет слова такой что

Задача 1 На данном луче от его начала отложить отрезок, равный данному Дано: Луч h, О- начало PQ-отрезок Построить: A h OA=PQ hA Построение: 1. окр(О;PQ) 2. h окр(O;PQ)= A 3. OA-искомый P Q OA: O

Задача 2 Построить середину данного отрезка Дано: АВ-отрезок А Построить: О АВ ОА=ОВ О:О: Построение: 1. окр(А ;АВ) 2. окр(В;ВА) 3. окр(А;АВ) окр(В;ВА)= P;Q 4. PQ-прямая P Q 5. PQ AB= O О 6. O- искомая точка B O

Задача 2 Построить середину данного отрезка Дано: АВ-отрезок А Построить: О АВ ОА=ОВ О:О: P Q О B О Доказательство: APQ= BPQ( по трем сторонам) так как 1) AP=BP=г 2) AQ=BQ=г 3) PQ-общая Следовательно, 1= 2 Значит, РО-биссектриса равнобедренного АРВ. 12 Значит, РО и медиана АРВ. То есть, О-середина АВ.

Задача 3Построить прямую, проходящую через данную точку и перпендикулярную к данной прямой Дано: прямая а а точка M Построить: m:m: M m m a точка М принадлежит прямой а М Построение: 1. окр(М;г); г-любой AA1A1 2. окр(М;г) а= А;А 1 3. окр(А;АА 1 ) 4. окр(А 1 ;A 1 A) 5. окр(А;АА 1 ) окр(А 1 ;А)= P;Q P Q 6. прямая PQ=m 7. m-искомая mm

Задача 3Построить прямую, проходящую через данную точку и перпендикулярную к данной прямой Дано: прямая а а точка M Построить: m:m: M m m a точка М принадлежит прямой а М AA1A1 P Q mm Доказательство: APA 1 -равнобедренный (АР=А 1 Р=г) РМ-медиана(МA=MА 1 =г 1 ) Значит, РМ-высота APA 1.То есть,PQ a.

Задача 4Построить прямую, проходящую через данную точку и перпендикулярную к данной прямой Дано: прямая а а точка M Построить: m: M m m a точка М не принадлежит прямой а М Построение: 1. окр(М;г) AA1A1 2. окр(М;г) а= А;А 1 3. окр(А;АМ) 4. окр(А 1 ;A 1 М) 5. окр(А;АМ) окр(А 1 ;А 1 М)= M;Q Q 6. прямая МQ=m 7. m-искомая mm

Задача 4Построить прямую, проходящую через данную точку и перпендикулярную к данной прямой Дано: прямая а а точка M Построить: m: M m m a точка М не принадлежит прямой а М AA1A1 Q mm Доказательство: AМQ= А 1 MQ( по трем сторонам) так как 1) AM=А 1 M=г 2) AQ=A 1 Q=г 3) MQ-общая Следовательно, 1= 2. Тогда, МО-биссектриса равнобедренного АМА О Значит, МО и высота АМА 1. Тогда, МQ a.

Задача 5Отложить от данного луча угол, равный данному Дано: луч ОМ ОМ А А Построить: Построение: 1. окр(А,г); г-любой С В 3. окр(О,г) Е 4. окр(О,г) ОМ= Е 5. окр(Е,ВC) К К1К1 6. окр(Е,BС) окр(О,г)= К;К 1 7. луч ОК; луч ОК 1 8. КОМ -искомый KOM= А 2. окр(А;г) А= В;С

Задача 5Отложить от данного луча угол, равный данному Дано: луч ОМ ОМ А А Построить: С В Е К К1К1 KOM= А Доказательство: AВС= ОЕК(по трем сторонам) так как 1) АВ=ОЕ=г 2) АС=ОК=г 3) ВС=ЕК=г 1 Следовательно, КОМ= А

Задача 6Построить биссектрису данного угла Дано: А Построить: Построение: А 1. окр(А;г); г-любой Луч AE-биссектрису А 2. окр(А;г) А= В;С C B 3. окр(В;г 1 ) 4. окр(С;г 1 ) E E 1 5. окр(В;г 1 ) окр(С;г 1 )= Е;E 1 6. Е-внутри A 7. AE-луч 8. AE-искомый Е

Задача 6Построить биссектрису данного угла Дано: А Построить: А Луч AE-биссектрису А C B E E 1 Е Доказательство: AВЕ= АСЕ( по трем сторонам) так как 1) AС=АB=г 2) СЕ=BЕ=г 1 3) АЕ-общая 1 2 Следовательно, 1= 2. Значит, АЕ-биссектриса А.