Построить линейный угол двугранного угла ВАСК. Четырехугольник АВСD – ромб, АС - диагональ. А С В N П-р Н-я П-я ОTTП АС ВМ H-я H-я АС NМ П-я П-я Угол ВMN – линейный угол двугранного угла ВАСК К M D Повторение.

Построить линейный угол двугранного угла ВАСК. АВСD – четырехугольник, АС - диагональ. А В N П-р Н-я П-я ОTTП АС ВС H-я H-я АС NС П-я П-я Угол ВСN – линейный угол двугранного угла ВАСК К С D 2 15Повторение.

Построить линейный угол двугранного угла ВАСК. АВСD – четырехугольник, АС – диагональ. А В N П-р Н-я П-я ОTTП АС ВS H-я H-я АС NS П-я П-я Угол ВSN – линейный угол двугранного угла ВАСК К С S D Повторение.

Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными), если угол между ними равен Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными), если угол между ними равен 90 0.

Примером взаимно перпендикулярных плоскостей служат плоскости стены и пола комнаты, Примером взаимно перпендикулярных плоскостей служат плоскости стены и пола комнаты, плоскости стены и потолка. плоскости стены и потолка.

Признак перпендикулярности двух плоскостей. Признак перпендикулярности двух плоскостей. Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны. Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.АВСD

Следствие. Плоскость, перпендикулярная к прямой, по которой пересекаются две данные плоскости, перпендикулярна к каждой их этих плоскостей. a

Плоскости и взаимно перпендикулярны пересекаются по прямой с. Докажите, что любая прямая плоскости, перпендикулярная к прямой с, перпендикулярна к плоскости cA a b Признак перпендикулярности прямой и плоскости c BC Подсказка

Докажите, что плоскость и не лежащая в ней прямая, перпендикулярные к одной и той же плоскости, параллельны cb a a b Признак параллельности прямой и плоскости Подсказка

Плоскости и пересекаются по прямой а. Из точки М проведены перпендикуляры МА и МВ соответственно к плоскостям и. Прямая а пересекает плоскость АМВ в точке С. Докажите, что МС а СА В М a

Плоскости и взаимно перпендикулярны пересекаются по прямой a. Из точки М проведены перпендикуляры МА и МВ к этим плоскостям. Прямая а пересекает плоскость АМВ в точке С. Докажите, что четырехугольник АСВМ – прямоугольник a СА В М

Плоскости и пересекаются по прямой a и перпендикулярны к плоскости. Докажите, что прямая а перпендикулярна к плоскости a

Прямоугольный параллелепипед Прямоугольный параллелепипед Параллелепипед называется прямоугольным, если его боковые ребра перпендикулярны к основанию, а основания представляют собой прямоугольники. Параллелепипед называется прямоугольным, если его боковые ребра перпендикулярны к основанию, а основания представляют собой прямоугольники.

Прямоугольный параллелепипед Две грани параллелепипеда параллельны.

1 0. В прямоугольном параллелепипеде все шесть 1 0. В прямоугольном параллелепипеде все шесть граней – прямоугольники. граней – прямоугольники Все двугранные углы прямоугольного 2 0. Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда – прямые. параллелепипеда – прямые. Длины трех ребер, имеющих общую вершину, называются измерениями прямоугольного параллелепипеда.

ПланиметрияСтереометрия В прямоугольнике квадрат диагонали равен сумме квадратов двух его измерений. А В С D d a b d 2 = a 2 + b 2 Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений. d 2 = a 2 + b 2 + с 2 a b с d

d C а b с B A D B1B1 C1C1 D1D1 A1A1 Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений. Следствие. Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны. d 2 = a 2 + b 2 + с 2

а Ребро куба равно а. Найдите диагональ куба D А В С А1А1 D1D1 С1С1 В1В1 d 2 = a 2 + b 2 + с 2 d = 3a 2 d 2 = 3a 2 d = a 3 а а а

Найдите расстояние от вершины куба до плоскости любой грани, в которой не лежит эта вершина, если: а) диагональ грани куба равна m. б) диагональ куба равна d D А В С D1D1 С1С1 m Н А Расстояние от точки до плоскости – длина перпендикуляра Подсказка В1В1 А1А1

Дан куб. Найдите следующие двугранные углы: a) АВВ 1 С; б) АDD 1 B; в) А 1 ВВ 1 К, где K – середина ребра А 1 D D А В С А1А1 D1D1 С1С1 В1В1 K

Дан куб АВСDА 1 В 1 С 1 D 1. Докажите, что плоскости АВС 1 и А 1 В 1 D перпендикулярны D А В С А1А1 D1D1 С1С1 В1В1

Найдите тангенс угла между диагональю куба и плоскостью одной из его граней D А В С А1А1 D1D1 С1С1 В1В1 Подсказка Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярной к ней, называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость. П-Р Н-я П-я Н А М П-Р Н-я П-я

D АВ С А1А1 D1D1 С1С1 В1В1 Подсказка Дан прямоугольный параллелепипед АВСDА 1 В 1 С 1 D 1. Найдите расстояние между: а) прямой А 1 С 1 и и плоскостью АВС; a a IIa Расстояние от произвольной точки расстоянием прямой до плоскости называется расстоянием между прямой и параллельной ей плоскостью между прямой и параллельной ей плоскостью n d m

D АВ С А1А1 D1D1 С1С1 В1В1 Подсказка Дан прямоугольный параллелепипед АВСDА 1 В 1 С 1 D 1 Найдите расстояние между: б) плоскостями АВВ 1 и DCC 1 ; n d m II Расстояние от произвольной точки одной из параллельных плоскостей до другой плоскости называется расстоянием между параллельными плоскостями.

D АВ С А1А1 D1D1 С1С1 Дан прямоугольный параллелепипед АВСDА 1 В 1 С 1 D 1. Найдите расстояние между: в) прямой DD 1 и плоскостью АСС 1. n d m Подсказка a a IIa Расстояние от произвольной точки расстоянием прямой до плоскости называется расстоянием между прямой и параллельной ей плоскостью между прямой и параллельной ей плоскостью В1В1

а Ребро куба равно а. Найдите расстояние между скрещивающимися прямыми, содержащими: а) диагональ куба и ребро куба; D А В С D1D1 С1С1 а В1В1 А1А1 a a II расстоянием между скрещивающимися прямыми. Расстояние межу одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой, называется расстоянием между скрещивающимися прямыми. a b a b Подсказка

а Ребро куба равно а. Найдите расстояние между скрещивающимися прямыми, содержащими: б) диагональ куба и диагональ грани куба D А В С D1D1 С1С1 а В1В1 А1А1 a a II расстоянием между скрещивающимися прямыми. Расстояние межу одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой, называется расстоянием между скрещивающимися прямыми. a b a b Подсказка

D В D1D1 С1С1 Изобразите куб АВСDА 1 В 1 С 1 D 1 и постройте его сечение плоскостью, проходящей через: а) ребро АА 1 и перпендикулярной к плоскости ВВ 1 D 1 ; А А1А1 С В1В1

Изобразите куб АВСDА 1 В 1 С 1 D 1 и постройте его сечение плоскостью, проходящей через: б) ребро АВ и перпендикулярной к плоскости СDA 1. D В D1D1 С1С1 А А1А1 В1В1 С

D А В С А1А1 D1D1 С1С1 В1В1 1. Найдите угол А 1 ВС 1 2. Доказать, что MN II А 1 С 1, где M и N – середины ребер куба. N M

Найдите площадь сечения, проходящего через точки А, В и С 1 D В D1D1 С1С1 А А1А1 В1В1 С 7 8 6